①式を平方完成すると、
$x^{2}-2sx+s^{2}+y^{2}-2ty+t^{2}-t^{2}=0$
$(x-s)^{2}+(y-t)^{2}=t^{2}$
となる。

なので、$C$は、
中心が$(s,t)$ 半径が$t$ の円である。

解答ア：３, イ：６, ウ：６

よって、$C$は図Ａのような円なので、$s$，$t$の値にかかわらず
$x$軸に接する ことが分かる。

解答エ：０

(i)

(1)で考えたように、$s$，$t$の値にかかわらず $C$は$x$軸と接する。
接点の座標は$(s,0)$だ。
この接点は、$-2 \lt s \lt 2$のとき、図Ｂの赤い線分上にある。

赤い線分は$C_{0}$の内部にあるから、$C$は$C_{0}$の内部で$x$軸と接する。
よって、$C_{0}$と$C$の接し方は内接しかない。

解答オ：1

このとき、$C$と$C_{0}$は、例えば図Ｃのような位置関係になる。

図Ｃより
$d+r=r_{0}$
とかけるから、
$d=r_{0}-r$式Ａ
だ。

解答カ：2

いま
$d$は 三平方の定理より
$d=\sqrt{s^{2}+t^{2}}$ $r_{0}$は$C_{0}$の半径なので
$r_{0}=2$ $r$はウで求めた
$r=t$ なので、式Ａは
$\sqrt{s^{2}+t^{2}}=2-t$
と表せる。

この式の両辺を二乗して $t$について解くと、

途中式

$s^{2}+t^{2}=4-4t+t^{2}$
$s^{2}=4-4t$
$4t=4-s^{2}$

$t=\dfrac{4-s^{2}}{4}$式Ｂ
となる。

解答キ：１

(ii)

次は、軌跡の問題。

軌跡の問題を解くときには鉄則があって、

復習

軌跡を求める点を$(x,y)$とおく

だった。

この問題では、$C$の中心$(s,t)$の軌跡を問われている。

復習にしたがって この点を$(x,y)$とおくと、
$(s,t)=(x,y)$
とかける。

これを式Ｂに代入すると、$C$の中心の軌跡の式は
$$ \begin{align} y&=\dfrac{4-x^{2}}{4}\\ &=\dfrac{4}{4}-\dfrac{x^{2}}{4}\\ &=-\dfrac{1}{4}x^{2}+1\class{tex_formula}{式Ｃ} \end{align} $$ となる。

これは上に凸の放物線の式だ。

クの選択肢のグラフのうち、上に凸の放物線は
②
しかないから、これが答えだ。

解答ク：２

$-2 \lt k \lt 2$ のとき、方程式が①の円のうち
$\left\{\begin{array}{l}
C_{0}\\
x=k
\end{array}\right.$
の両方に接するものは、図Ｄのように二つある。

このうち、直線$x=k$（図Ｄの緑の線）よりも左にある円を$C_{1}$，右にある円を$C_{2}$とする。

$C_{1}$の半径は中心の$y$座標に等しいから、半径が最大になるのは中心の$y$座標が最大になるときだ。
また、$C_{1}$の中心は式Ｃの放物線（図Ｄのオレンジの曲線）の上にある。

よって、$y$座標が最大になるのは中心が放物線の頂点$(0,1)$にあるときだ。

以上より、$C_{1}$の半径が最大のとき、グラフは図Ｅのようになる。

このとき、$C_{1}$の半径は$1$になるから、$y$軸と$x=k$の距離も$1$である。
したがって、
$k=1$
である。

解答ケ：１

最後に、$C_{2}$の中心の座標だ。

$C_{2}$の中心の座標を$(p,q)$とおくと
$C_{2}$の中心は式Ｃの放物線上にあるから、式Ｃに$(p,q)$を代入して、
$q=-\dfrac{1}{4}p^{2}+1$式Ｄ
$\left[\begin{aligned}& C_{2}\text{の中心と}\\& x\text{軸との距離}\end{aligned}\right]=\left[\begin{aligned}& C_{2}\text{の中心と}\\& x=k\text{との距離}\end{aligned}\right]$
なので、
$$ \begin{align} q&=p-k\\ &=p-1\class{tex_formula}{式Ｅ} \end{align} $$ のふたつの式がつくれる。

このふたつの式を連立方程式 $q=-\dfrac{1}{4}p^{2}+1$式Ｄ $q=p-1$式Ｅ として解く。

式Ｄ$=$式Ｅより、
$-\dfrac{1}{4}p^{2}+1=p-1$
$-p^{2}+4=4p-4$
$p^{2}+4p=8$

解の公式を使ってもいいんだけど、この式は平方完成して欲しそうな顔をしている。
なので、たまには違った方法で解いてみよう。

左辺を平方完成して、
$p^{2}+4p+4=8+4$
$(p+2)^{2}=12$

両辺の平方根をとって、
$$ \begin{align} p+2&=\pm\sqrt{12}\\ &=\pm 2\sqrt{3} \end{align} $$ $p=\pm 2\sqrt{3}-2$式Ｆ

ここで、$p$は$C_{2}$の中心の$x$座標だから
$1 \lt p \lt 2$
なので、式Ｆのうち$-2\sqrt{3}-2$は不適。
$p=2\sqrt{3}-2$
である。

これを式Ｅに代入すると
$$ \begin{align} q&=2\sqrt{3}-2-1\\ &=2\sqrt{3}-3 \end{align} $$ となる。

以上より、このときの$C_{2}$の中心の座標は
$\left(2\sqrt{3}-2,\ 2\sqrt{3}-3\right)$
である。

解答コ：２, サ：３, シ：２, ス：２, セ：３, ソ：３