大学入学共通テスト 2025年(令和7年) 追試 数学Ⅰ 第４問 [2] 解説
解説
分散の問題なので、最初に分散について簡単に復習しておく。
復習
データ$\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\}$の
平均値が$\overline{x}$
それぞれの値の２乗の平均値が$\overline{x^{2}}$
のとき、
$$
\begin{align}
\text{分散}s^{2}&=\dfrac{1}{n}\left\{\begin{aligned}&\left(x_{1}-\overline{x}\right)^{2}+\left(x_{2}-\overline{x}\right)^{2}+\\&\qquad\cdots+\left(x_{n}-\overline{x}\right)^{2}\end{aligned}\right\}\\
&=\overline{x^{2}}-\left(\overline{x}\right)^{2}
\end{align}
$$
である。
それから、文字が多いので、はじめに整理しておくと、
データ$A$
$\left\{\begin{array}{l} a_{1}=z_{1}\\ a_{2}=z_{2} \end{array}\right.$式Ａ
$\overline{a}=\dfrac{a_{1}+a_{2}}{2}$式Ｂ
$s_{A}^{2}=\dfrac{\left(a_{1}-\overline{a}\right)^{2}+\left(a_{2}-\overline{a}\right)^{2}}{2}$式Ｃ
データ$B$
$\left\{\begin{array}{l} b_{1}=z_{3}\\ b_{2}=z_{4} \end{array}\right.$式Ｄ
$\overline{b}=\dfrac{b_{1}+b_{2}}{2}$式Ｅ
$s_{B}^{2}=\dfrac{\left(b_{1}-\overline{b}\right)^{2}+\left(b_{2}-\overline{b}\right)^{2}}{2}$式Ｆ
データ$Z$
$\overline{z}=\dfrac{z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}}{4}$式Ｇ
$s_{Z}^{2}=\dfrac{\left\{\begin{aligned}&\left(z_{1}-\overline{z}\right)^{2}+\left(z_{2}-\overline{z}\right)^{2}\\&+\left(z_{3}-\overline{z}\right)^{2}+\left(z_{4}-\overline{z}\right)^{2}\end{aligned}\right\}}{4}$
式Ｈ
$k=\overline{a}-\overline{z}$式Ｉ
である。
この問題は先が見えにくい。
なので、深く考えずに問題の流れに乗ってゆこう。
$P=\left(z_{1}-\overline{z}\right)^{2}+\left(z_{2}-\overline{z}\right)$式Ｊ
とおくと、式Ａより
$P=\left(a_{1}-\overline{z}\right)^{2}+\left(a_{2}-\overline{z}\right)$
とかける。
これに、式Ｉを変形した
$\overline{z}=\overline{a}-k$
を代入すると
$$
\begin{align}
P&=\left\{a_{1}-\left(\overline{a}-k\right)\right\}^{2}+\left\{a_{2}-\left(\overline{a}-k\right)\right\}^{2}\\
&=\left\{\SORA{\left(a_{1}-\overline{a}\right)}+k\right\}^{2}+\left\{\SORA{\left(a_{2}-\overline{a}\right)}+k\right\}^{2}
\end{align}
$$
式Ｋ
と表せる。
ここまでは問題文にあるとおり。
アドバイス
この式は展開するほか変形のしようがない。
しかたがないから展開するんだけど、問題文の先を見ると $s_{A}^{2}$ の式にもってゆきたいようだ。
はじめに考えた $s_{A}^{2}$ の式（式Ｃ）と式Ｋを見比べると、式Ｋの青い部分は展開しないんだと予想がつく。
ということで、青い部分はかたまりのままおいておく方針で計算しよう。
式Ｋを展開すると
$$
\begin{align}
P&=\left(a_{1}-\overline{a}\right)^{2}+2\left(a_{1}-\overline{a}\right)k+k^{2}\\
&\qquad+\left(a_{2}-\overline{a}\right)^{2}+2\left(a_{2}-\overline{a}\right)k+k^{2}\\
&=\left(a_{1}-\overline{a}\right)^{2}+\left(a_{2}-\overline{a}\right)^{2}\\
&\qquad+2\left\{\left(a_{1}-\overline{a}\right)+\left(a_{2}-\overline{a}\right)\right\}k+2k^{2}\\
&=\left(a_{1}-\overline{a}\right)^{2}+\left(a_{2}-\overline{a}\right)^{2}\\
&\qquad+2\left(\AKA{a_{1}+a_{2}-2\overline{a}}\right)k+2k^{2}\TF{式Ｋ'}
\end{align}
$$
となる。
ここで、式Ｂを変形すると
$2\overline{a}=a_{1}+a_{2}$
より
$a_{1}+a_{2}-2\overline{a}=0$
なので、式Ｋ'の赤い部分は$0$だ。
よって、式Ｋ'は
$P=\left(a_{1}-\overline{a}\right)^{2}+\left(a_{2}-\overline{a}\right)^{2}+2k^{2}$
より
$\left(a_{1}-\overline{a}\right)^{2}+\left(a_{2}-\overline{a}\right)^{2}=P-2k^{2}$
と変形できる。
これを式Ｃに代入すると、
$s_{A}^{2}=\dfrac{P-2k^{2}}{2}$式Ｌ
となることが分かる。
解答ケ：２
また、問題文によると、
$Q=\left(z_{3}-\overline{z}\right)^{2}+\left(z_{4}-\overline{z}\right)$式Ｍ
で同様の作業をすると
$s_{B}^{2}=\dfrac{Q-2k^{2}}{2}$式Ｎ
となるらしい。
式Ｍから式Ｎへの計算はしなくていい。
しかも 式Ｊから式Ｌの計算とほとんど同じなので解説する必要もないと思うけど、せっかくだから下の[詳しく]に簡単に載せておく。
詳しく
式Ｄより、式Ｍは
$Q=\left(b_{1}-\overline{z}\right)^{2}+\left(b_{2}-\overline{z}\right)$式Ｍ'
とかける。
また、式Ｇに式Ａ，式Ｂを代入すると
$\overline{z}=\dfrac{a_{1}+a_{2}+b_{1}+b_{2}}{4}$
となり、これに
式Ｂを変形した $a_{1}+a_{2}=2\overline{a}$
式Ｅを変形した$b_{1}+b_{2}=2\overline{b}$
を代入すると
途中式
$$
\begin{align}
\overline{z}&=\dfrac{2\overline{a}+2\overline{b}}{4}\\
&=\dfrac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\\
\end{align}
$$
$\overline{a}+\overline{b}=2\overline{z}$
とかける。
これを式Ｉに代入すると、
$k=\overline{z}-\overline{b}$
より
$\overline{z}=\overline{b}+k$
となる。
これを式Ｍ'に代入すると
途中式
$$
\begin{align}
Q&=\left\{b_{1}-\left(\overline{b}+k\right)\right\}^{2}+\left\{a_{2}-\left(\overline{b}+k\right)\right\}^{2}\\
&=\left\{\left(b_{1}-\overline{b}\right)-k\right\}^{2}+\left\{\left(b_{2}-\overline{b}\right)-k\right\}^{2}\\
&=\left(b_{1}-\overline{b}\right)^{2}-2\left(b_{1}-\overline{b}\right)k+k^{2}\\
&\qquad+\left(b_{2}-\overline{b}\right)^{2}-2\left(b_{2}-\overline{b}\right)k+k^{2}\\
&=\left(b_{1}-\overline{b}\right)^{2}+\left(b_{2}-\overline{b}\right)^{2}\\
&\qquad-2\left\{\left(b_{1}-\overline{b}\right)+\left(b_{2}-\overline{b}\right)\right\}k+2k^{2}
\end{align}
$$
より、
この式の赤い部分は$0$なので
$Q=\left(b_{1}-\overline{b}\right)^{2}+\left(b_{2}-\overline{b}\right)^{2}+2k^{2}$
より
$\left(b_{1}-\overline{b}\right)^{2}+\left(b_{2}-\overline{b}\right)^{2}=Q-2k^{2}$
表せる。
これを式Ｆに代入すると、
$s_{B}^{2}=\dfrac{Q-2k^{2}}{2}$式Ｎ
となることが分かる。
よって、
$$
\begin{align}
\dfrac{1}{2}s_{A}^{2}+\dfrac{1}{2}s_{B}^{2}&=\dfrac{1}{2}\times \text{式Ｌ}+\dfrac{1}{2}\times \text{式Ｎ}\\
&=\dfrac{P-2k^{2}}{4}+\dfrac{Q-2k^{2}}{4}\\
&=\dfrac{P+Q-4k^{2}}{4}\\
&=\dfrac{P+Q}{4}-k^{2}\TF{式Ｐ}
\end{align}
$$
である。
また、式Ｈに式Ｊ，式Ｍを代入すると
$s_{Z}^{2}=\dfrac{P+Q}{4}$式Ｑ
と表せる。
いま、$k\neq 0$ なので $k^{2} \gt 0$ だ。
なので、式Ｐと式Ｑの右辺同士を比較すると $k^{2}$ だけ式Ｐの方が小さい。
よって
式Ｑ$ \gt $式Ｐ
が成り立つから、
$s_{Z}^{2} \gt \dfrac{1}{2}s_{A}^{2}+\dfrac{1}{2}s_{B}^{2}$
である。
解答コ：２