(i)

$\left|z-1\right|$ は、点 $z$ と点 $1$ の距離
$\left|z+1\right|$ は、点 $z$ と点 $-1$ の距離
だ。

よって、
$\left|z-1\right|+\left|z+1\right|=4$①
は

点 $z$ と点 $1$ の距離と、、点 $z$ と点 $-1$ の距離の和が $4$ であることを表している。

解答ア：１

(ii)

$z=x+yi$
とおくと、
$z-1=\left(x-1)+yi\right.$
だから、
$\left|z-1\right|=\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}$
$z+1=\left(x+1)+yi\right.$
だから、
$\left|z+1\right|=\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}$
とかける。

なので、方程式①は
$\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}=4$
より
$\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}=4-\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}$
と変形できる。

解答イ：４, ウ：２

この両辺を２乗して、
$$ \begin{align} &(x-1)^{2}+y^{2}\\ &\qquad=16-8\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+(x+1)^{2}+y^{2}\\ & x^{2}-2x+1\\ &\qquad=16-8\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+x^{2}+2x+1 \end{align} $$ $-4x-16=-8\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}$
$x+4=2\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}$

解答エ：３

この両辺をもう一度２乗すると
$(x+4)^{2}=2^{2}\{(x+1)^{2}+y^{2}\}$
$x^{2}+8x+16=4x^{2}+8x+4+4y^{2}$
$12=3x^{2}+4y^{2}$

両辺を$12$で割って、
$\dfrac{3}{12}x^{2}+\dfrac{4}{12}y^{2}=1$
$\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$②
となる。

解答オ：１

(iii)

ここで、楕円の定義の復習をしておく。

アで考えたように、$z$ は
点 $z$ と点 $1$ の距離と、、点 $z$ と点 $-1$ の距離の和が $4$ であるような点だった。

したがって、点 $z$ の全体は、
２点 $1$，$-1$ を焦点とし、長軸の長さが $4$ の楕円 になる。

解答カ：２

また、点$w$が動く図形は、図Ａを原点を中心に$\dfrac{\pi}{4}$回転した、図Ｂの赤い楕円だ。

(1) より、赤い楕円の式は
$\biggl|z-[\text{一方の焦点}]\biggr|+\biggl|z-[\text{他方の焦点}]\biggr|=4$
式Ｂ
とかけることが分かる。

式Ｂ中の焦点は、回転前の焦点を原点を中心に $\dfrac{\pi}{4}$ 回転したものだ。

回転前の焦点 $1$ を$\dfrac{\pi}{4}$回転すると
$$ \begin{align} & 1\times\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\\ &\qquad =\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\right) \end{align} $$

同様に、回転前の焦点 $-1$ を回転すると
$$ \begin{align} & -1\times\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\\ &\qquad =-\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\right) \end{align} $$

この二つの焦点を式Ｂに代入して、図Ｂの赤い楕円の式、つまり点$w$が満たす式は
$$ \begin{align} &\left|w-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\right)\right|\\ &\hspace{100px} +\left|w+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\right)\right|=4 \end{align} $$ である。

解答ク：４

最後に、点 $z$ を原点を中心に回転させた点を点 $\alpha$ とするとき、解答群のうちから 点 $\alpha$ が満たす方程式をさがす。

何だかよく分からないかも知れないけれど、要するに、
選択肢のうち、カの図形（図Ａ）を原点を中心に回転させてできるものはどれか ということだ。

カの図形（図Ａ）は
２点 $1$，$-1$ を焦点とし、長軸の長さが $4$ の楕円 だった。

なので、これを回転させた図形は
 ※ $\text{一方の焦点}=\text{他方の焦点}\times(-1)$
$\left|\text{一方の焦点}\right|=\left|\text{他方の焦点}\right|=1$
長軸の長さが $4$
の楕円
になる。

解答群から、これを満たすものをさがす。

⓪ 長軸の長さが$6$なので不適。

① 焦点 $3$ は、
$\left|3\right|\neq 1$ なので不適。

② 焦点 $\dfrac{1}{2}$ は、
$\left|\dfrac{1}{2}\right|\neq 1$ なので不適。

③ 焦点 $1+\sqrt{3}i$ は、
$\left|1+\sqrt{3}i\right|\neq 1$ なので不適。

④ 焦点 $\sqrt{2}$ は、
$\left|\sqrt{2}\right|\neq 1$ なので不適。

⑤ 焦点 $i$，$-i$ は $i=-i\times(-1)$ $\left|i\right|=\left|-i\right|=1$ 長軸の長さが $4$ の楕円なので、※を満たす。
これが答えだ。

以上より、解答群のうち正しいものは
⑤
である。

解答ケ：５