図Ａのように、
$\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}\\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}\\ \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\vec{m} \end{array}\right.$
とする。

また、点$\mathrm{M}$を通り、$\mathrm{OB}$と平行な直線を$\ell$とする。

図Ａは空間ベクトルを平面に表しているので赤い3つのベクトルは同一平面上にあるように見えるけど、必ずしもそうじゃないので注意。

(i)

図Ａより、

と表せる。

式Ａ$=$式Ｂ、つまり
$s\vec{a}=\vec{m}+t\vec{b}$①
となる実数$s$，$t$が存在するとき、点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は一致する。
したがって 直線$\mathrm{OA}$と直線$\ell$の共有点が存在するから、二直線は交わる。

(ii)

$\vec{m}=(2,3,5)$ のとき、①式は
$s(0,-3,1)=(2,3,5)+t(1,0,3)$
より
$(0,-3s,s)=(2+t,3,5+3t)$②
とかける。

解答イ：３, ウ：１, エ：５

このとき、②式の

だ。

これを$z$成分に代入すると
$$ \begin{align} -1&=5+3\cdot(-2)\\ &=-1 \end{align} $$ となって成り立つ。

よって、②式を満たす実数$s$，$t$が存在するから、直線$\mathrm{OA}$と直線$\ell$は交わる。

また、二直線の交点の座標は、$s=-1$ を式Ａに代入した
$-1\cdot(0,-3,1)=(0,3,-1)$
である。

解答ケ：０, コ：３, サ：－, シ：１

(iii)

$\vec{m}=(2,3,-5)$ のとき、①式は
$s(0,-3,1)=(2,3,-5)+t(1,0,3)$
より
$(0,-3s,s)=(2+t,3,-5+3t)$③
とかける。

解答ス：７

③式と②式の違いは$z$成分だけなので、
②式の$y$成分から求めた $s=-1$
②式の$x$成分から求めた $t=-2$
は、③式でも変わらない。

これを③式の$z$成分に代入すると
$$ \begin{align} -1&=-5+3\cdot(-2)\\ &=-11 \end{align} $$ となって成り立たない式ができる。

よって、③式を満たす実数$s$，$t$は存在しないから、直線$\mathrm{OA}$と直線$\ell$は交わらない。

$\vec{e}=(0,0,1)$
とする。

３つのベクトル $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{e}$ は同一平面上にないから、点$\mathrm{M}$が座標空間のどこにあっても、$\vec{m}$は

$\vec{m}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{e}$④
の形でただ一通りに表せる。

(i)

ということで、$\vec{m}=(2,3,5)$ を④式の形で表してみよう。

初めから計算するのは面倒なので、これまでの作業を振り返って役に立ちそうなものをさがすと、(1)(ii) で求めた
$\vec{m}=(2,3,5)$ のとき、①式が成り立つ$s$，$t$ は
$\left\{\begin{array}{l} s=-1\\ t=-2 \end{array}\right.$
が使えそうだ。

①式に$s=-1$，$t=-2$ を代入すると、
$-1\vec{a}=\vec{m}-2\vec{b}$
より
$$ \begin{align} \vec{m}&=-\vec{a}+2\vec{b}\\ &=-1\vec{a}+2\vec{b}+0\vec{e} \end{align} $$ と表せる。

なので、$\vec{m}=(2,3,5)$ を④式の形で表すと、
$\left\{\begin{array}{l} \alpha=-1\\ \beta=2\\ \gamma=0 \end{array}\right.$
である。

解答セ：－, ソ：１, タ：２, チ：０

よって、
$(2,3,5)=-\vec{a}+2\vec{b}$式Ｃ
とかける。

(ii)

次は、$\vec{m}=(2,3,-5)$ を④式の形で表す。

$\vec{m}=(2,3,-5)$ を問題文の指示に従って変形すると
$\vec{m}=(2,3,5)+(0,0,-10)$
なので
$\vec{m}=(2,3,5)-10\vec{e}$
と表せる。

解答ツ：１, テ：０

これに式Ｃを代入すると
$\vec{m}=-\vec{a}+2\vec{b}-10\vec{e}$式Ｄ
となるから、このとき、
$\left\{\begin{array}{l} \alpha=-1\\ \beta=2\\ \gamma=-10 \end{array}\right.$
である。

解答ト：－, ナ：１, ニ：０

(iii)

直線$\mathrm{OA}$と直線$\ell$が交わるとき、つまり ①を満たす実数実数$s$，$t$が存在するとき、
$s\vec{a}=\vec{m}+t\vec{b}$
より
$\vec{m}=s\vec{a}-t\vec{b}$
とかける。

解答ヌ：０, ネ：３

これを④式の形にすると
$\vec{m}=s\vec{a}-t\vec{b}+0\vec{e}$
なので、二直線が交わるときは
$\gamma=0$
になる。

逆に、$\gamma=0$のとき、④式は
$$ \begin{align} \vec{m}&=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+0\vec{e}\\ &=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b} \end{align} $$ とかける。

これを変形すると
$\alpha\vec{a}=\vec{m}-\beta\vec{b}$
となるから、①式を満たす
$\left\{\begin{array}{l} s=\alpha\\ t=-\beta \end{array}\right.$
が存在し、直線$\mathrm{OA}$と直線$\ell$は交わる。

以上より、
 ※ 直線$\mathrm{OA}$と直線$\ell$が交わる$\ \Leftrightarrow\ \gamma=0$
といえる。

$\vec{c}=(2,3,5)$，$\vec{d}=(2,3,-5)$ は、式Ｃ，式Ｄより
$\left\{\begin{array}{l} \vec{c}=-\vec{a}+2\vec{b}\\ \vec{d}=-\vec{a}+2\vec{b}-\textcolor{red}{10\vec{e}} \end{array}\right.$
と表せる。

なので、$\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$，$\vec{d}$ の４つのベクトルのうち、$\vec{e}$ が含まれているのは $\vec{d}$ だけだ。

よって、ベクトル $\vec{m}$ が $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$，$\vec{d}$ で表されているとき、$\vec{m}$ を④式の形で表した場合に
$\vec{d}$ が含まれなければ $\gamma = 0$
$\vec{d}$ が含まれれば $\gamma \neq 0$
となる。

このことと※をあわせると、
※※ $\vec{m}$ の式に $\vec{d}$ が
含まれていないとき、二直線は交わる
含まれているとき、二直線は交わらない ことが分かる。

これを使って、（Ⅰ）～(Ⅲ) をひとつずつ考えよう。