この解説では、 「番号「777」のカード」 を [777] 「番号の下二桁が「22」のカード」 を [*22] 「番号の下一桁が「1」のカード」 を [**1] と書く。

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箱の中に
カードは全部で$1000$枚
[777]のカードは$1$枚
[*22]のカードは、上一桁が 0～9 の$10$枚
[**1]のカードは、上二桁が 00～99 の$100$枚
ある。

よって、

である。

以上より、問題文中の確率分布表を完成させると表Ａができる。

ここで、確率分布表から平均や分散を求める方法について復習しておく。

復習

$X$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\cdots$	$x_{n}$	計
$P$	$p_{1}$	$p_{2}$	$\cdots$	$p_{n}$	$1$

上のような確率分布表があるとき、

$X$の平均$E(X)$は、
$E(X)=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots+x_{n}p_{n}$

$X$の分散$V(X)$は、
$$ \begin{align} V(X)&=\{x_{1}-E(X)\}^{2}p_{1}\\ &\qquad +\ \{x_{2}-E(X)\}^{2}p_{2}\ +\\ &\hspace{60px} \cdots+\{x_{n}-E(X)\}^{2}p_{n}\\ &\hspace{158px} \class{tex_formula}{式Ａ}\\ &=E(X^{2})-\{E(X)\}^{2}\class{tex_formula}{式Ｂ} \end{align} $$

である。

分散を求めるふたつの式は 問題によって使い分けるので、両方憶えておこう。

表Ａと復習より、$X$の

である。

(i)

問題文中にあるように、得点$X$から$25$点を引いた差が損得点$Y$なので、

$Y=X-25$
とかける。

解答キ：２, ク：５

さらに、確率変数の変換の復習をしておこう。

復習

確率変数$X$の
期待値（平均）を$E(X)$ 分散を$V(X)$ 標準偏差を$\sigma(X)$ とする。

$X$と定数$a$，$b$を使って、確率変数$Y$を
$Y=aX+b$
と定める。

このとき、$Y$の
期待値（平均）$E(Y)=aE(X)+b$ 分散 $V(Y)=a^{2}V(X)$ 標準偏差 $\sigma(Y)=\sqrt{V(Y)}=\left|a\right|\sigma(X)$ である。

キク$=c$ とおくと、確率変数$X$と$Y$の関係は
$Y=X-c$
とかける。

なので、復習より、確率変数$Y$の

アドバイス

問題文中に$Y$の確率分布表がある。
これを見ると、共通テスト本番のような気持ちに余裕がないときには、(1)のような計算をする気になりがちだ。
面倒な計算になってしまうので、惑わされないようにしよう。

(ii)

標本平均についても復習しておこう。

復習

母平均$\mu$，母標準偏差$\sigma$の母集団から大きさ$n$の標本を取り出す。
このとき、標本平均は
母集団が正規分布に従うときには、$n$の値にかかわらず完全に、 母集団がその他の分布のときには、$n$が大きければ近似的に、 正規分布 $N\left(\mu,\dfrac{\sigma^{2}}{n}\right)$ に従う。

母平均$E(Y)$，母標準偏差$\sqrt{V(Y)}$の母集団から 大きさ$400$の標本を取り出す。
標本の大きさ$400$は十分に大きいとする。

このとき、標本平均$\overline{Y}$は、復習より
近似的に 正規分布
$N\left(E(Y),\dfrac{\sqrt{VY}^{2}}{400}\right)=N\left(E(Y),\dfrac{V(Y)}{400}\right)$
に従う
ことが分かる。

解答サ：５

これにそれぞれの値を代入すると、$\overline{Y}$が従う正規分布は
$$ \begin{align} N\left(E(Y),\dfrac{V(Y)}{400}\right)&=N\left(-5,\dfrac{11000}{400}\right)\\ &=N\left(-5,\dfrac{110}{4}\right) \end{align} $$ であることが分かる。

損得点の合計が$0$以上のとき、損得点の平均、つまり標本平均$\overline{Y}$も$0$以上だ。
ということで、標本平均$\overline{Y}$が$0$以上になる確率を求める。

求める確率を$p$とおくと、$p$は図Ｂの緑の部分の面積だ。

この面積を求めるために正規分布表を見るんだけど、
正規分布表に載っているのは、標準正規分布の$N(0,1)$ 図Ｂの正規分布は$N\left(-5,\dfrac{110}{4}\right)$ なので、そのままでは使えない。
$N\left(-5,\dfrac{110}{4}\right)$ を標準化して$N(0,1)$にしよう。

復習

確率変数を
平均が$0$ 標準偏差が$1$ になるように変換することを、標準化という。

もとの確率変数$X$の
平均を$m$ 標準偏差を$\sigma$ とすると、標準化された確率変数$Z$は
$Z=\dfrac{X-m}{\sigma}$
となる。

いま、図Ｂの正規分布の
分散は$\dfrac{110}{4}$なので、標準偏差は
$\sqrt{\dfrac{110}{4}}=\dfrac{\sqrt{110}}{2}$ 平均は $-5$ だ。

よって、復習より、図Ｂの$0$を標準化すると
$\dfrac{0-(-5)}{\dfrac{\sqrt{110}}{2}}=\dfrac{10}{\sqrt{110}}$
だけど、問題文に$\sqrt{110}=10.5$との指示があるから、
$\dfrac{10}{10.5}\doteqdot 0.95$
となる。

したがって、図Ｂを標準化すると 図Ｃになる。

図Ｂと図Ｃの緑の部分の面積は等しい。
なので、求める確率$p$は図Ｃの緑の部分の面積だ。

正規分布表で$z_{0}=0.95$をさがすと、$0.3289$とある。
これは、図Ｃの黄色い部分の面積にあたる。

よって、求める緑の部分の面積、つまり確率$p$は、
$0.5-0.3289=0.1711$
である。

これに最も近い値は、シの選択肢のうち
⓪
だ。

解答シ：０

くじを３回引いて得点の合計が$1000$点になるのは、
[*22] を１回
[**1] を２回
引く場合だ。

なので、その確率は
$$ \begin{align} \dfrac{1}{100}\times\left(\dfrac{1}{10}\right)^{2}\times {}_{3}\mathrm{C}_{1}&=\dfrac{3}{10000}\\ &=0.0003 \end{align} $$ である。

解答ス：１

この後 問題文は長いけれど、要するに
標本平均の $16.75$
母標準偏差として、標本標準偏差の $75$
標本の大きさ $400$
を使って、信頼度 $95\%$ で母平均$m$の信頼区間を求めよということだ。

というわけで、母平均の推定について復習しておこう。

復習

母標準偏差を$\sigma$，標本平均を$\overline{W}$，標本の大きさを$n$とすると、母平均$m$の信頼区間は
$\overline{W}-z\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\leqq m\leqq\overline{W}+z\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
式Ｃ
とかける。

ただし、信頼度が$ c\%$のとき、$z$は、右図を標準正規分布の確率分布図として、図中の$z_{0}$の値。
特に
信頼度$ 95\%$のとき、$z=1.96$ 信頼度$ 99\%$のとき、$z=2.58$ である。

式Ｃに それぞれの値と 信頼度$ 95\%$なので $z=1.96$ を代入すると、求める$m$の信頼区間は
$$ \begin{align} 16.75-1.96\cdot &\dfrac{75}{\sqrt{400}}\\ &\hspace{34px} \leqq m\leqq\\ &\hspace{74px} 16.75+1.96\cdot\dfrac{75}{\sqrt{400}} \end{align} $$ $$ \begin{align} 16.75-1.96\cdot\dfrac{75}{20}&\leqq m\leqq 16.75+1.96\cdot\dfrac{75}{20}\\ 16.75-7.35&\leqq m\leqq 16.75+7.35\\ 9.4&\leqq m\leqq 24.1 \end{align} $$ となる。

解答セ：２

アドバイス

これじゃ原理がゼンゼン分からないけど、原理通り解くと時間がかかるから、共通テスト本番では機械的に公式を使おう。
原理に関してはこのページを参照してほしい。