大学入学共通テスト 2022年(令和4年) 本試 数学ⅠA 第1問 [1] 解説

(1)

①の両辺を2乗して、
$(a+b+c)^{2}=1^{2}$
より
$\textcolor{red}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+2ab+2bc+2ca=1$
とかける。

この式の赤い部分に②を代入すると、
$13+2ab+2bc+2ca=1$
となる。

これを変形して、
$2ab+2bc+2ca=-12$
$ab+bc+ca=-6$式A
である。

解答ア:-, イ:6


また、問題文中のウエの式を展開すると、
ウエ$=a^{2}-2ab+b^{2}$
$\hspace{100px} +b^{2}-2bc+c^{2}+c^{2}-2ca+a^{2}$
途中式 $\hspace{61px}=2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ca$
$\hspace{61px}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2(ab+bc+ca)$
$\hspace{61px}=2\{(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(ab+bc+ca)\}$
と変形できる。

これに②と式Aを代入して、
ウエ$=2\{13-(-6)\}$
$\hspace{61px}=2\cdot 19$
$\hspace{61px}=38$
となる。

解答ウ:3, エ:8

(2)

$x=b-c$式B
$y=c-a$式C
を辺々たすと、

$x$ $=$ $b$ $-c$
$+)$ $y$ $=$ $c$ $-a$
$x+y$ $=$ $b$ $-a$

より
$x+y=-(a-b)$式D
と表せる。

問題文より
$a-b=2\sqrt{5}$式E
なので、式Dは
$x+y=-(2\sqrt{5})$
$\phantom{ x+y } =-2\sqrt{5}$式F
となる。

解答オ:-, カ:2

また、(1)のウエの式に 式B,式C,式Eを代入すると
$(2\sqrt{5})^{2}+x^{2}+y^{2}=38$
となるから、
$20+x^{2}+y^{2}=38$
$x^{2}+y^{2}=18$
である。

解答キ:1, ク:8


同様に、の式に 式B,式C,式Eを代入すると
$2\sqrt{5}xy=$$\sqrt{5}$
とかける。

これを変形すると
$=2xy$式G
となるから、$xy$の値が分かれば、答えが分かる。
ということで、$xy$を求める。

式Fの両辺を2乗して、
$(x+y)^{2}=(-2\sqrt{5})^{2}$
より
$\textcolor{red}{x^{2}}+2xy \textcolor{red}{+y^{2}}=20$
とすると、キクより、この式の赤い部分は$18$なので、
$2xy+18=20$
と表せる。

これを変形して、
$2xy=2$

これを式Gに代入すると、求める
$=2$
となる。

解答ケ:2