最初に、自転車が最初に歩行者に追いつくときの時刻と位置を表すグラフ上の点、つまり 図Ａの赤い点の座標を求める。

考え方はたくさんあるけど、そのうちのいくつかを紹介しておく。

説明のために、図Ｂのように、図Ａの赤い点を点$Q$とし、その座標を$(C,D)$とする。
また、自転車が歩行者に追いつくのにかかった時間を$T$とする。

最初に確認しておくと、図Ｂ中の、 $a_{1}=2$，$b_{1}=2$ 緑の直線の傾きは$1$なので、$C=D$ だ。

この$C$が点$Q$の$x$座標なので、アの答えである。

解答ア：４

また、自転車が自宅まで帰る時間は図Ｂの$T$に等しく、自転車が歩行者に追いついたときと自宅に着いたときに停止する時間はそれぞれ$1$分なので、$a_{2}$までの時間は、図Ｄの赤文字のようになっているはず。
なので、
$$ \begin{align} a_{2}&=2+2+1+2+1\\ &=8 \end{align} $$ である。

解答イ：８

この$8$分間に、歩行者は、$1$分間だけ停止する以外の時間は進んでいる。
つまり
$8-1=7$
分間進んでいる。

歩行者は$7$分間に$7$進むから、図Ｄのオレンジの点の$y$座標は$7$だ。
よって、
$b_{2}=7$
である。

解答ウ：７

次は、$a_{n}$，$b_{n}$，$a_{n+1}$，$b_{n+1}$の関係だ。

さっきと同じように、$n$回目に自転車が歩行者に追いつくグラフ上の点を$Q_{n}$とし、その座標を$(C_{n},D_{n})$として、図Ｅをつくった。

まず、点$Q_{n}$の座標を求めよう。
アで考えたように、自転車は歩行者の２倍の速さで追いかけるので、自転車が出発する時刻$a_{n}$に、歩行者は点$Q_{n}$までの距離の半分まで進んでいる。
なので、
$D_{n}=2b_{n}$
とかける。

これが点$Q_{n}$の$y$座標。

また、
$D_{n}=2b_{n}$
なので、図Ｅ中の$S$は
$S=b_{n}$
だ。

さらに、図Ｅの緑の直線は傾きが$1$なので、
$T=S$
である。

よって、
$C_{n}=a_{n}+T$
は
$C_{n}=a_{n}+b_{n}$
と表せる。
これが点$Q_{n}$の$x$座標。

以上より、点$Q_{n}$の座標は、
$(\,\fbox{エ},\ \fbox{オ}\,)=(a_{n}+b_{n},2b_{n})$
となる。

解答エ：３, オ：４

上のように考えると、$a_{n+1}$までの時間は 図Ｆの赤文字のようになっているはず。
なので、
$$ \begin{align} a_{n+1}&=a_{n}+b_{n}+1+b_{n}+1\\ &=a_{n}+2b_{n}+2 \class{tex_formula}{式Ａ} \end{align} $$ である。

解答カ：２, キ：２

また、緑の直線の傾きは$1$なので、図Ｆ中の$U$は、
$U=b_{n}+1$
とかける。

よって、
$$ \begin{align} b_{n+1}&=b_{n}+b_{n}+U\\ &=b_{n}+b_{n}+(b_{n}+1)\\ &=3b_{n}+1 \class{tex_formula}{式Ｂ} \end{align} $$ である。

解答ク：１

式Ａ，式Ｂの漸化式を見ると、式Ｂは復習の基本の形の４番目にあたる。
なので、先に 式Ｂを解いて$\{b_{n}\}$の一般項を求めよう。
定期テストなんかでよく見る作業なので、解説は簡単にしてどんどん行く。

式Ｂの小さな文字を全部消すと、
$b=3b+1$
これを$b$の方程式と考えて解くと、
$2b=-1$
より
$b=-\dfrac{1}{2}$

これを式Ｂの両辺から引いて、
$$ \begin{align} b_{n+1}+\dfrac{1}{2}&=3b_{n}+1+\dfrac{1}{2}\\ &=3\left(b_{n}+\dfrac{1}{2}\right) \class{tex_formula}{式Ｂ'} \end{align} $$

ここで
$b_{n}+\dfrac{1}{2}=E_{n}$ 式Ｃ
とおくと、式Ｂ'は
$E_{n+1}=3E_{n}$
となるけど、これは復習の漸化式の基本の形の２番目だ。
なので、$\{E_{n}\}$は公比$3$の等比数列だ。

式Ｃに$n=1$を代入すると、
$E_{1}=b_{1}+\dfrac{1}{2}$
$b_{1}=2$なので、
$$ \begin{align} E_{1}&=2+\dfrac{1}{2}\\ &=\dfrac{5}{2} \end{align} $$ だ。

よって、$\{E_{n}\}$は、 初項が$\dfrac{5}{2}$ 公比が$3$ の等比数列なので、一般項は
$E_{n}=\dfrac{5}{2}\cdot 3^{n-1}$
となる。

これを式Ｃに代入して、$\{b_{n}\}$の一般項$b_{n}$は、
$b_{n}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}\cdot 3^{n-1}$
より
$b_{n}=\dfrac{5}{2}\cdot 3^{n-1}-\dfrac{1}{2}$式Ｄ
である。

解答ケ：７

次は$\{a_{n}\}$だ。
式Ｄを式Ａに代入すると、
$a_{n+1}=a_{n}+2\left(\dfrac{5}{2}\cdot 3^{n-1}-\dfrac{1}{2}\right)+2$
より
$$ \begin{align} a_{n+1}&=a_{n}+5\cdot 3^{n-1}-1+2\\ &=a_{n}+\textcolor{red}{5\cdot 3^{n-1}+1} \end{align} $$ とかける。
この式の赤い部分は$n$の式、つまり$f(n)$なので、復習の漸化式の基本の形の３番目だ。
復習より、$\{a_{n}\}$の階差数列を$\{F_{n}\}$とすると、その一般項$F_{n}$は
$F_{n}=5\cdot 3^{n-1}+1$
だ。

階差数列の利用について復習すると、

復習

数列$\{p_{n}\}$の階差数列を$\{q_{n}\}$とするとき、$\{p_{n}\}$の一般項$p_{n}$は、$\{q_{n}\}$の一般項$q_{n}$を使って、
$\displaystyle p_{n}=p_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}q_{k} \qquad (2\leqq n)$
と表せる。

だった。

よって、$2\leqq n$のとき、$\{a_{n}\}$の一般項$a_{n}$は、
$$ \begin{align} a_{n}&=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}F_{k}\\ &=2+\sum_{k=1}^{n-1}(5\cdot 3^{k-1}+1) \end{align} $$ とかける。

これを計算すると、

途中式

$$ \begin{align} a_{n}&=2+5\sum_{k=1}^{n-1}3^{k-1}+\sum_{k=1}^{n-1}1\\ &=2+5\cdot\dfrac{1-3^{n-1}}{1-3}+(n-1)\\ &=2+\dfrac{5-5\cdot 3^{n-1}}{-2}+n-1\\ &=\dfrac{5\cdot 3^{n-1}}{2}+n-\dfrac{5}{2}+2-1 \end{align} $$ より

$a_{n}=\dfrac{5}{2}\cdot 3^{n-1}+n-\dfrac{3}{2}$式Ｅ
である。

これに$n=1$を代入した場合
$$ \begin{align} a_{1}&=\dfrac{5}{2}\cdot 3^{0}+1-\dfrac{3}{2}\\ &=2 \end{align} $$ となるので、式Ｅは$n=1$のときにも成り立つ。

解答コ：9

(2)を解く前に、もう一度図Ｆを見てみよう。
図Ｆをもう一度載せておく。

図Ｆの$Q_{n}$は、$n$回目に自転車が歩行者に追いついたときのグラフ上の点だった。
図Ｆより、$Q_{n}$の
$y$座標、つまり自宅からの距離は
$y=2b_{n}$式Ｆ
$x$座標、つまり追いつく時刻は
$x=a_{n}+b_{n}$式Ｇ
なので、これを使おう。

自宅からの距離が$y=300$までのことを問われているので、式Ｆより
$2b_{n} \lt 300$式Ｈ
という式ができる。
これを満たす最大の整数$n$が、サの答えだ。

式Ｈに$\{b_{n}\}$の一般項を代入して、
$2\left(\dfrac{5}{2}\cdot 3^{n-1}-\dfrac{1}{2}\right) \lt 300$
より

途中式

$5\cdot 3^{n-1}-1 \lt 300$
$5\cdot 3^{n-1} \lt 301$
$3^{n-1} \lt \dfrac{301}{5}$

$3^{n-1} \lt 60.2$式Ｈ'
とかける。

あとは、適当に$n$に値を代入だ。

$n=4$のとき、式Ｈ'は
$3^{4-1} \lt 60.2$
より
$27 \lt 60.2$
となって、成り立つ。
$n=5$のとき、式Ｈ'は
$3^{5-1} \lt 60.2$
より
$81 \lt 60.2$
となって、成り立たない。

よって、式Ｈを満たす最大の整数は
$n=4$
だから、サは$4$だ。

解答サ：4

また、このときの時刻$x$は、式Ｇに$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$の一般項と$n=4$を代入して、
$x=\left(\dfrac{5}{2}\cdot 3^{4-1}+4-\dfrac{3}{2}\right)+\left(\dfrac{5}{2}\cdot 3^{4-1}-\dfrac{1}{2}\right)$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{ x } &=\left(\dfrac{5}{2}\cdot 27+4-\dfrac{3}{2}\right)+\left(\dfrac{5}{2}\cdot 27-\dfrac{1}{2}\right)\\ &=5\cdot 27+4-2 \end{align} $$

$\phantom{ x } =137$
である。

解答シ：1, ス：3, セ：7