大学入学共通テスト 2022年(令和4年) 本試 数学ⅡB 第4問 解説

(1) ア~ウ

図A
大学入学共通テスト2022年本試 数学ⅡB第4問 解説図A

最初に、自転車が最初に歩行者に追いつくときの時刻と位置を表すグラフ上の点、つまり 図Aの赤い点の座標を求める。

考え方はたくさんあるけど、そのうちのいくつかを紹介しておく。

説明のために、図Bのように、図Aの赤い点を点$Q$とし、その座標を$(C,D)$とする。
また、自転車が歩行者に追いつくのにかかった時間を$T$とする。

図B
大学入学共通テスト2022年本試 数学ⅡB第4問 解説図B

最初に確認しておくと、図B中の、 $a_{1}=2$,$b_{1}=2$ 緑の直線の傾きは$1$なので、$C=D$ だ。

この$C$が点$Q$の$x$座標なので、の答えである。

考え方1
自転車は歩行者の2倍の速さで追いかけるので、自転車が出発した時刻に、歩行者は点$Q$までの距離の半分まで進んでいる。
これを図B中の文字を使って表すと
$b_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}D$
より
$D=2b_{1}$
である。

よって、
$D=2\times 2$
$\phantom{D} =4$
となる。

また、$C=D$なので、
$C=4$
である。

考え方2
自転車は歩行者の2倍の速さで追いかけるので、歩行者が出発してから点$Q$に着くまでの時間は、自転車が出発してから点$Q$に着くまでの時間の$2$倍かかる。
これを図B中の文字を使って表すと
$C=2T$
なので、
$T=a_{1}$
$\phantom{T} =2$
だ。
よって、$C$は
$C=2+ 2$
$\phantom{C}=4$
である。

図C
大学入学共通テスト2022年本試 数学ⅡB第4問 解説図C

考え方3
歩行者は$1$分に距離$1$進み、自転車は$1$分に距離$2$進む。よって、点$Q$までの歩行者と自転車のグラフは、図Cのような比率の三角形になっているはず。
図Cと図Bを見比べると、図Cの赤線は図Bの$a_{1}$にあたる。

$a_{1}=2$なので、図Cの②の実際の長さは$4$だ。
よって、
$C=4$
である。

考え方4
花子さんの考え方をすると、自転車が歩行者を追いかける場合、距離は$1$分間に$1$縮まる。
自転車が出発するとき、歩行者は距離$2$先を歩いている。
自転車が歩行者に追いつくには$2$分かかるから、
$T=2$
であることが分かる。

よって、
$C=a_{1}+T$
$\phantom{C}=2+2$
$\phantom{C}=4$
である。

解答ア:4


図D
大学入学共通テスト2022年本試 数学ⅡB第4問 解説図D

また、自転車が自宅まで帰る時間は図Bの$T$に等しく、自転車が歩行者に追いついたときと自宅に着いたときに停止する時間はそれぞれ$1$分なので、$a_{2}$までの時間は、図Dの赤文字のようになっているはず。
なので、
$a_{2}=2+2+1+2+1$
$\phantom{ a_{2} } =8$
である。

解答イ:8

この$8$分間に、歩行者は、$1$分間だけ停止する以外の時間は進んでいる。
つまり
$8-1=7$
分間進んでいる。

歩行者は$7$分間に$7$進むから、図Dのオレンジの点の$y$座標は$7$だ。
よって、
$b_{2}=7$
である。

解答ウ:7

(1) エ~ク

次は、$a_{n}$,$b_{n}$,$a_{n+1}$,$b_{n+1}$の関係だ。

さっきと同じように、$n$回目に自転車が歩行者に追いつくグラフ上の点を$Q_{n}$とし、その座標を$(C_{n},D_{n})$として、図Eをつくった。

図E
大学入学共通テスト2022年本試 数学ⅡB第4問 解説図E

まず、点$Q_{n}$の座標を求めよう。
で考えたように、自転車は歩行者の2倍の速さで追いかけるので、自転車が出発する時刻$a_{n}$に、歩行者は点$Q_{n}$までの距離の半分まで進んでいる。
なので、
$D_{n}=2b_{n}$
とかける。

これが点$Q_{n}$の$y$座標。

また、
$D_{n}=2b_{n}$
なので、図E中の$S$は
$S=b_{n}$
だ。

さらに、図Eの緑の直線は傾きが$1$なので、
$T=S$
である。

よって、
$C_{n}=a_{n}+T$

$C_{n}=a_{n}+b_{n}$
と表せる。
これが点$Q_{n}$の$x$座標。

以上より、点$Q_{n}$の座標は、
$($$,$$)=(a_{n}+b_{n},2b_{n})$
となる。

解答エ:3, オ:4


図F
大学入学共通テスト2022年本試 数学ⅡB第4問 解説図F

上のように考えると、$a_{n+1}$までの時間は 図Fの赤文字のようになっているはず。
なので、
$a_{n+1}=a_{n}+b_{n}+1+b_{n}+1$
$\phantom{ a_{n+1} } =a_{n}+2b_{n}+2$式A
である。

解答カ:2, キ:2

また、緑の直線の傾きは$1$なので、図F中の$U$は、
$U=b_{n}+1$
とかける。

よって、
$b_{n+1}=b_{n}+b_{n}+U$
$\phantom{ b_{n+1} } =b_{n}+b_{n}+(b_{n}+1)$
$\phantom{ b_{n+1} } =3b_{n}+1$式B
である。

解答ク:1

(1) ケ・コ

これまでに分かったことを整理すると、数列$\{a_{n}\}$,$\{b_{n}\}$について、
$a_{1}=2$
$b_{1}=2$
$a_{n+1}=a_{n}+2b_{n}+2$式A
$b_{n+1}=3b_{n}+1$式B
だった。

これを使って、$\{a_{n}\}$と$\{b_{n}\}$の一般項を求める。

計算に入る前に、漸化式の復習をしておこう。

復習

漸化式の基本の形は4つあって、
$p_{n+1}=p_{n}+d$
公差$d$の等差数列
$p_{n+1}=rp_{n}$
公比$r$の等比数列
$p_{n+1}=p_{n}+f(n)$
階差数列の一般項が$f(n)$
$ p_{n+1}=\alpha p_{n}+\beta$
特性方程式を使って解く
だった。


式A,式Bの漸化式を見ると、式Bは復習の基本の形の4番目にあたる。
なので、先に 式Bを解いて$\{b_{n}\}$の一般項を求めよう。
定期テストなんかでよく見る作業なので、解説は簡単にしてどんどん行く。

式Bの小さな文字を全部消すと、
$b=3b+1$
これを$b$の方程式と考えて解くと、
$2b=-1$
より
$b=-\displaystyle \frac{1}{2}$

これを式Bの両辺から引いて、
$b_{n+1}+\displaystyle \frac{1}{2}=3b_{n}+1+\frac{1}{2}$
$\phantom{ b_{n+1}+\displaystyle \frac{1}{2} } \displaystyle =3\left(b_{n}+\frac{1}{2}\right)$式B'

ここで
$b_{n}+\displaystyle \frac{1}{2}=E_{n}$ 式C
とおくと、式B'は
$E_{n+1}=3E_{n}$
となるけど、これは復習の漸化式の基本の形の2番目。
なので、$\{E_{n}\}$は公比$3$の等比数列だ。

式Cに$n=1$を代入すると、
$E_{1}=b_{1}+\displaystyle \frac{1}{2}$
$b_{1}=2$なので、
$E_{1}=2+\displaystyle \frac{1}{2}$
$\phantom{ E_{1}\displaystyle } \displaystyle =\frac{5}{2}$
だ。

よって、$\{E_{n}\}$は、 初項が$\displaystyle \frac{5}{2}$ 公比が$3$ の等比数列なので、一般項は
$E_{n}=\displaystyle \frac{5}{2}\cdot 3^{n-1}$
となる。

これを式Cに代入して、$\{b_{n}\}$の一般項$b_{n}$は、
$b_{n}+\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{5}{2}\cdot 3^{n-1}$
より
$b_{n}=\displaystyle \frac{5}{2}\cdot 3^{n-1}-\frac{1}{2}$式D
である。

解答ケ:7


次は$\{a_{n}\}$だ。
式Dを式Aに代入すると、
$\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+2\left(\frac{5}{2}\cdot 3^{n-1}-\frac{1}{2}\right)+2$
より
$a_{n+1}=a_{n}+5\cdot 3^{n-1}-1+2$
$\phantom{ a_{n+1} } =a_{n}+\textcolor{red}{5\cdot 3^{n-1}+1}$
とかける。
この式の赤い部分は$n$の式、つまり$f(n)$なので、復習の漸化式の基本の形の3番目だ。
復習より、$\{a_{n}\}$の階差数列を$\{F_{n}\}$とすると、その一般項$F_{n}$は
$F_{n}=5\cdot 3^{n-1}+1$
だ。

階差数列の利用について復習すると、

復習

数列$\{p_{n}\}$の階差数列を$\{q_{n}\}$とするとき、$\{p_{n}\}$の一般項$p_{n}$は、$\{q_{n}\}$の一般項$q_{n}$を使って、
$p_{n}=p_{1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}q_{n}$
と表せる。

だった。

よって、$\{a_{n}\}$の一般項$a_{n}$は、
$a_{n}=a_{1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}F_{n}$
$\phantom{ a_{n}\displaystyle } \displaystyle =2+\sum_{k=1}^{n-1}(5\cdot 3^{n-1}+1)$
とかける。

これを計算して、
$a_{n}=2+5\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}3^{n-1}+\sum_{k=1}^{n-1}1$
途中式 $\phantom{ a_{n}\displaystyle } \displaystyle =2+5\cdot\frac{1-3^{n-1}}{1-3}+(n-1)$
$\phantom{ a_{n}\displaystyle } \displaystyle =2+\frac{5-5\cdot 3^{n-1}}{-2}+n-1$
$\phantom{ a_{n}\displaystyle } \displaystyle =\frac{5\cdot 3^{n-1}}{2}+n-\frac{5}{2}+2-1$
$\phantom{ a_{n}\displaystyle } \displaystyle =\frac{5}{2}\cdot 3^{n-1}+n-\frac{3}{2}$式E
である。

これに$n=1$を代入すると、
$a_{1}=\displaystyle \frac{5}{2}\cdot 3^{0}+1-\frac{3}{2}$
$\phantom{ a_{1} } =2$
となるので、式Eは$n=1$のときにも成り立つ。

解答コ:9

(2)

(2)を解く前に、もう一度図Fを見てみよう。
図Fをもう一度載せておく。

図F
大学入学共通テスト2022年本試 数学ⅡB第4問 解説図F

図Fの$Q_{n}$は、$n$回目に自転車が歩行者に追いついたときのグラフ上の点だった。
図Fより、$Q_{n}$の
$y$座標、つまり自宅からの距離は
$\hspace{20px} y=2b_{n}$式F
$x$座標、つまり追いつく時刻は
$\hspace{20px} x=a_{n}+b_{n}$式G
なので、これを使おう。


自宅からの距離が$y=300$までのことを問われているので、式Fより
$2b_{n} \lt 300$式H
という式ができる。
これを満たす最大の整数$n$が、の答えだ。

式Hに$\{b_{n}\}$の一般項を代入して、
$\displaystyle 2\left(\frac{5}{2}\cdot 3^{n-1}-\frac{1}{2}\right) \lt 300$
より
途中式 $5\cdot 3^{n-1}-1 \lt 300$
$5\cdot 3^{n-1} \lt 301$
$3^{n-1} \lt \displaystyle \frac{301}{5}$
$3^{n-1} \lt 60.2$式H'
とかける。

あとは、適当に$n$に値を代入だ。

$n=4$のとき、式H'は
$3^{4-1} \lt 60.2$
より
$27 \lt 60.2$
となって、成り立つ。
$n=5$のとき、式H'は
$3^{5-1} \lt 60.2$
より
$81 \lt 60.2$
となって、成り立たない。

よって、式Hを満たす最大の整数は
$n=4$
だから、は$4$だ。

解答サ:4


また、このときの時刻$x$は、式Gに$\{a_{n}\}$,$\{b_{n}\}$の一般項と$n=4$を代入して、
$\displaystyle x=\left(\frac{5}{2}\cdot 3^{4-1}+4-\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{5}{2}\cdot 3^{4-1}-\frac{1}{2}\right)$
途中式 $\phantom{ x } =\displaystyle \left(\frac{5}{2}\cdot 27+4-\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{5}{2}\cdot 27-\frac{1}{2}\right)$
$\phantom{ x } =5\cdot 27+4-2$
$\phantom{ x } =137$
である。

解答シ:1, ス:3, セ:7