大学入学共通テスト 2022年(令和4年) 本試 数学ⅠA 第1問 [3] 解説

(1)

まず、使えそうな公式を考える。
問題には外接円の半径$R$が載っているけど、三角比の公式のうちで$R$が含まれるのは
正弦定理の
$\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$
三角形の面積の
$S=\displaystyle \frac{abc}{4R}$
の2つあった。
今回は面積は分からないので、正弦定理の方を使う。

図A
大学入学共通テスト2022年本試 数学ⅠA第1問[3] 解説図A

△$\mathrm{ABC}$に正弦定理を使うと
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\sin\angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=2R$式A
とかける。

これに$\mathrm{AC}$,$R$の値を代入して、
$\displaystyle \frac{4}{\sin\angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=2\cdot 3$
より
$2\cdot 3\sin\angle \mathrm{ABC}=4$
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{ABC}=\frac{4}{2\cdot 3}$
$\phantom{ \displaystyle \sin\angle \mathrm{ABC} } \displaystyle =\frac{2}{3}$
である。

解答ソ:2, タ:3

さらに、△$\mathrm{ABD}$は直角三角形なので、
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{D}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\sin\angle \mathrm{ABC}$式B
である。

これに$\mathrm{AB}$,$\sin\angle \mathrm{ABC}$の値を代入すると、
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{D}}{5}=\frac{2}{3}$
両辺を$5$倍して、
$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{10}{3}$
となる。

解答チ:1, ツ:0, テ:3

アドバイス

図Aには、△$\mathrm{ABC}$が鋭角三角形になる場合を載せておいた。
問題の条件からは、図Bのような鈍角三角形も考えられる。
どちらの三角形を使っても、解き方は変わらない。

図B
大学入学共通テスト2022年本試 数学ⅠA第1問[3] 解説図B

(2)

三角形の辺は、外接円の直径より長くなることはない。
なので、

$\mathrm{AB}\leqq 6$式C
$\mathrm{BC}\leqq 6$
$\mathrm{AC}\leqq 6$式D

である。

問題文中の
$2\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=14$

$\mathrm{AC}=14-2\mathrm{AB}$式E
と変形して 式Dに代入すると、
$14-2\mathrm{AB}\leqq 6$
より
$8\leqq 2\mathrm{AB}$
$4\leqq \mathrm{AB}$
であることが分かる。

これと式Cをあわせて、$\mathrm{AB}$の範囲は
$4\leqq \mathrm{AB}\leqq 6$
となる。

解答ト:4, ナ:6


アドバイス

次の問いの$\mathrm{AD}$の式をどうやってつくるか、迷う人は多いんじゃないだろうか。
こういうとき、共通テストやセンター試験では、前の問題がヒントになっていることも多い。

(1)では、$\mathrm{AB}$と$\mathrm{AC}$の値が分かっていて、$\mathrm{AD}$を求めた。
今度は$\mathrm{AD}$の式をつくるんだけど、$\mathrm{AB}$,$\mathrm{AC}$の値は分からないし、求めようもない。
ならば、$\mathrm{AB}$と$\mathrm{AC}$を文字のままにして、(1)と同じことをやってみよう。

(1)の式Aに$R$を代入すると
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\sin\angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=2\cdot 3$
より
$2\cdot 3\sin\angle \mathrm{ABC}=\mathrm{AC}$
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{ABC}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{6}$
と表せる。

これを(1)の式Bに代入して
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{D}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{6}$
より、$\mathrm{AD}$の式
$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}\cdot \mathrm{A}\mathrm{C}}{6}$式F
ができる。

$\mathrm{AD}$の式はできたけど、ニヌの式とはかなり違う。
とりあえず、ニヌの式にない$\mathrm{AC}$を代入して消そう。

式Fに式Eを代入すると
$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}(14-2\mathrm{A}\mathrm{B})}{6}$
とかける。

これを整理して、$\mathrm{AD}$の式は
$\mathrm{AD} \displaystyle =\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}(7-\mathrm{A}\mathrm{B})}{3}$式G
$\phantom{ \mathrm{AD} } \displaystyle =\frac{-\mathrm{A}\mathrm{B}^{2}+7\mathrm{A}\mathrm{B}}{3}$
$\phantom{ \mathrm{AD} } \displaystyle =\frac{-1}{3}\mathrm{AB}^{2}+\frac{7}{3}\mathrm{AB}$
である。

解答ニ:-, ヌ:1, ネ:3, ノ:7, ハ:3


最後は$\mathrm{AD}$の最大値だ。
二次式で表された値の最大値なので、2次関数の最大の問題だ。

式Gより、$\mathrm{AD}$は
$\displaystyle \mathrm{AD}=-\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}(\mathrm{A}\mathrm{B}-7)}{3}$
$\phantom{ \displaystyle } \displaystyle =-\frac{1}{3}\mathrm{AB}(\mathrm{AB}-7)$式H
とかける。

式Hがわかりにくい人は、
$\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{A}\mathrm{B}=x\\
\mathrm{A}\mathrm{D}=y
\end{array}\right.$
とおいて、
$y=-\displaystyle \frac{1}{3}x(x-7)$式H'
とした方がイメージしやすいかも。

式H'の2次関数のグラフは
上に凸で $x=0$,$7$で$x$軸と交わる から、図Cのようなグラフだ。

図C
大学入学共通テスト2022年本試 数学ⅠA第1問[3] 解説図C

放物線の軸は、$x$軸との2つの交点のちょうど真ん中、
$\displaystyle x=\frac{0+7}{2}$
$\phantom{x} \displaystyle =\frac{7}{2}$
である。

また、$x$,つまり$\mathrm{AB}$の定義域は、で求めた
$4\leqq x\leqq 6$
で、図C中の緑の部分。
よって、$y$,つまり$\mathrm{AD}$の最大値は、図C中の赤い点の$y$座標だ。

以上より、$\mathrm{AD}$の最大値は、式Hに
$\mathrm{AB}=4$
を代入して、
$\displaystyle \mathrm{AD}=-\frac{1}{3}\cdot 4(4-7)$
$\phantom{ \displaystyle } \displaystyle =-\frac{1}{3}\cdot 4(-3)$
$\phantom{ \mathrm{AD} } =4$
である。

解答ヒ:4