大学入学共通テスト 2022年(令和4年) 本試 数学Ⅰ 第1問 [2] 解説

ア~セ

以下の解説では、
$y=x^{2}+px+r$を関数A $y=x^{2}+qx+s$を関数B と呼ぶことにする。


2次方程式
$x^{2}+px+r=0$式A
に解の公式を使うと、
$x=\displaystyle \frac{-p\pm\sqrt{p^{2}-4\cdot 1\cdot r}}{2\cdot 1}$
$\phantom{ x\displaystyle } \displaystyle =\frac{-p\pm\sqrt{\textcolor{red}{p^{2}-4r}}}{2}$
となる。

解答コ:2, サ:4, シ:2

この式の赤い部分を
$D_{1}=p^{2}-4r$式B
とおくと、解の公式の根号の中は判別式なので、式Bは式Aの2次方程式の判別式にあたる。

よって、
$D_{1} \lt 0$のとき、式Aは実数解をもたない
       → 関数Aは$x$軸と共有点をもたない
$D_{1}\geqq 0$のとき、式Aは実数解をもつ
       → 関数Aは$x$軸と共有点をもつ
ことが分かる。


2次方程式
$x^{2}+qx+s=0$式C
で同様の作業をすると、この方程式の判別式は
$D_{2}=q^{2}-4s$式D
となる。

よって、
$D_{2} \lt 0$のとき、式Cは実数解をもたない
       → 関数Bは$x$軸と共有点をもたない
$D_{2}\geqq 0$のとき、式Cは実数解をもつ
       → 関数Bは$x$軸と共有点をもつ
ことが分かる。


以上をまとめると、表Aができる。

表A
関数Aが
$x$軸と共有点を
もたないもつ
$D_{1} \lt 0$ $D_{1}\geqq 0$
関数Bが
$x$軸と
共有点を
もたない$D_{2} \lt 0$
もつ$D_{2}\geqq 0$

「ふたつの2次関数の少なくとも一方は$x$軸と共有点をもつ」にあたるのは、表Aの緑の部分。
つまり
$D_{1}\geqq 0$ または $D_{2}\geqq 0$

解答ス:3

が成り立たないのは、表Aの緑以外の部分。
つまり
$D_{1} \lt 0$ かつ $D_{2} \lt 0$

解答セ:0

である。

セの別解

の否定なので、
$\overline{D_{1} \geqq 0\ \text{または} D_{2} \geqq 0}$
とかける。

これは、ド・モルガンの法則から
$\overline{D_{1} \geqq 0}$ かつ $\overline{D_{2} \geqq 0}$
より
$D_{1} \lt 0$ かつ $D_{2} \lt 0$
と表すことができる。

解答セ:0

ソ~チ

ここからは、背理法での命題Bの証明だ。
つまり、
$pq=2(r+s) \Rightarrow\ D_{1} \lt 0$ かつ $D_{2} \lt 0$ であると仮定すると、矛盾が起こることを示す。

$D_{1} \lt 0$ かつ $D_{2} \lt 0$
ならば、
$D_{1}+D_{2} \lt 0$
である。

解答ソ:1

また、式Bと式Dを辺々たすと、

$D_{1}$$=$$p^{2}-4r$
$-)$$D_{2}$$=$$q^{2}-4s$
$D_{1}+D_{2}$$=$$p^{2}+q^{2}-4r-4s$

$\phantom{ D_{1}+D_{2} } =p^{2}+q^{2}-4(r+s)$
$\phantom{ D_{1}+D_{2} } =p^{2}+q^{2}-2\cdot \textcolor{red}{2(r+s)}$
とかける。

この式の赤い部分に
$pq=2(r+s)$
を代入すると、
$D_{1}+D_{2}=p^{2}+q^{2}-2pq$
と表せる。

解答タ:1

これはさらに
$D_{1}+D_{2}=p^{2}-2pq+q^{2}$
$\phantom{ D_{1}+D_{2} } =(p-q)^{2}$
と変形できるから、
$D_{1}+D_{2}\geqq 0$
であることが分かる。

解答チ:3

よって、
$pq=2(r+s)$
ならば
$D_{1}+D_{2}\geqq 0$
である。

以上より
$pq=2(r+s) \Rightarrow\ D_{1} \lt 0$ かつ $D_{2} \lt 0$ は成り立たない。

よって、
$pq=2(r+s) \Rightarrow\ \overline{D_{1} \lt 0\ \text{かつ} D_{2} \lt 0}$ つまり
$pq=2(r+s)$
$\hspace{50px}\Rightarrow\ D_{1}\geqq 0$ または $D_{2}\geqq 0$命題B
は真である。