図Ａより
$\displaystyle \alpha=\frac{2}{3}\pi$
であることが分かる。

解答ク：２, ケ：３

また、
$\displaystyle \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\displaystyle \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ だ。

解答コ：３, サ：５, シ：７

これを図Ａに書き込むと、図Ｂができる。

図Ｂより、$\beta$は
$\displaystyle \frac{\pi}{3} \lt \beta \lt \frac{\pi}{2}$式Ｄ
であることが分かる。

解答ス：３

アドバイス

ここでは誤解のないように図で説明した。
一方で、共通テストは時間との戦いでもあるから 手間のかかる図は描きたくない。

$ 0\leqq\theta\leqq\pi$の範囲では
$\cos\theta_{1} \gt \cos\theta_{2}\ \Leftrightarrow\ \theta_{1} \lt \theta_{2}$
である。
これがちゃんと理解できていれば、図Ｂを考える必要はなくて
$\displaystyle \frac{1}{2} \gt \frac{1}{4} \gt 0$
なので
$\displaystyle \frac{\pi}{3} \lt \beta \lt \frac{\pi}{2}$式Ｄ
である
と考えてＯＫだ。

いま、
$\displaystyle \cos\beta=\frac{1}{4}$
だけど、これを２倍角の公式（式Ａ）に代入すると、
$\displaystyle \cos 2\beta=2\left(\frac{1}{4}\right)^{2}-1$
より
$\displaystyle \cos 2\beta=-\frac{7}{8}$
となる。

解答セ：－, ソ：７, タ：８

これをもう一度２倍角の公式（式Ａ）に代入すると
$\displaystyle \cos 2(2\beta)=2\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}-1$
とかける。

これを計算して、
$\displaystyle \cos 4\beta=\frac{49}{32}-1$
$\phantom{\cos 4 \beta}=\displaystyle \frac{17}{32}$
である。

解答チ：１, ツ：７, テ：３, ト：２

ここで、式Ｄの３辺を$4$倍すると
$\displaystyle \frac{4}{3}\pi \lt 4\beta \lt 2\pi$式Ｄ'
となるけど、これを図で表すと図Ｃの緑の範囲だ。

また、チツテトより$\cos 4\beta$は正の値であることが分かっている。
$\cos$が正なのは図Ｃのオレンジの範囲。

よって、$ 4\beta$は緑とオレンジの重なる部分に存在するので、第４象限の角だ。

解答ナ：４

この$ 4\beta$についてスを求めたときと同様に考える。

$\displaystyle \cos 4\beta=\frac{17}{32}$
で
$\displaystyle \frac{1}{2} \lt \frac{17}{32} \lt \frac{\sqrt{2}}{2}$
なので、$ 4\beta$は図Ｄのような角であることが分かる。

図Ｄの緑の範囲は、ナで求めた$ 4\beta$の存在範囲だ。
なので、$ 4\beta$はこの範囲にあるものとして考える。

図Ｄのように、第４象限にあって
$\cos$が$\displaystyle \frac{1}{2}$の角を$\mathrm{A}$ $\cos$が$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$の角を$\mathrm{B}$ とすると、$ 4\beta$は
$\mathrm{A} \lt 4\beta \lt \mathrm{B}$式Ｅ
であることが分かる。

ここで、
$\displaystyle \mathrm{A}=2\pi-\frac{\pi}{3}$
なので、
$\displaystyle \mathrm{A}=\frac{6-1}{3}\pi$
$\phantom{\mathrm{A}}=\displaystyle \frac{5}{3}\pi$
$\displaystyle \mathrm{B}=2\pi-\frac{\pi}{4}$
なので、
$\displaystyle \mathrm{B}=\frac{8-1}{4}\pi$
$\phantom{\mathrm{B}}=\displaystyle \frac{7}{4}\pi$
である。

よって、式Ｅは
$\displaystyle \frac{5}{3}\pi \lt 4\beta \lt \frac{7}{4}\pi$
とかける。

この式の３辺を$4$で割って、$\beta$の存在範囲は
$\displaystyle \frac{5}{12}\pi \lt \beta \lt \frac{7}{16}\pi$式Ｆ
である。

解答ニ：８

アドバイス

上の解を見て、「あれ？式Ｄは？」って思う人がいるかも知れない。
確かに$\beta$の存在範囲は式Ｄと式Ｆの共通部分だ。

式Ｆを求めた作業を振り返ってみる。
式Ｄを式Ｄ'に変形して、図Ｃの緑の範囲をつくった。
これとオレンジの範囲の重なる部分を求めて、図Ｄの緑の範囲とした。
この緑の範囲の中で、式Ｆをつくった。
つまり、式Ｆは式Ｄの範囲に含まれる。

なので、式Ｆを求めた後に もう一度 式Ｄとの共通部分を考える必要はない。