$\cos$の２倍角の公式を思い出すと

公式

$$ \begin{align} \cos 2\theta&=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\\ &=1-2\sin^{2}\theta\\ &=2\cos^{2}\theta-1 \class{tex_formula}{式Ａ} \end{align} $$

の３つあったけど、今回は$\cos 2\theta$を$t$、つまり$\cos\theta$で表すので、使うのは式Ａだ。

式Ａに
$ t=\cos\theta$式Ｂ
を代入すると
$\cos2\theta=2t^{2}-1$式Ｃ
となる。

解答ア：２, イ：１

図Ａより
$\alpha=\dfrac{2}{3}\pi$
であることが分かる。

解答ク：２, ケ：３

また、
$\left\{\begin{array}{l} \cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2} \end{array}\right.$
だ。

解答コ：３, サ：５, シ：７

これを図Ａに書き込むと、図Ｂができる。

図Ｂより、$\beta$は
$\dfrac{\pi}{3} \lt \beta \lt \dfrac{\pi}{2}$式Ｄ
であることが分かる。

解答ス：３

アドバイス

ここでは誤解のないように図で説明した。
一方で、共通テストは時間との戦いでもあるから 手間のかかる図は描きたくない。

$ 0\leqq\theta\leqq\pi$の範囲では
$\cos\theta_{1} \gt \cos\theta_{2}\ \Leftrightarrow\ \theta_{1} \lt \theta_{2}$
である。
これがちゃんと理解できていれば、図Ｂを考える必要はなくて
$\dfrac{1}{2} \gt \dfrac{1}{4} \gt 0$
なので
$\dfrac{\pi}{3} \lt \beta \lt \dfrac{\pi}{2}$式Ｄ
である
と考えてＯＫだ。

いま、
$\cos\beta=\dfrac{1}{4}$
だけど、これを２倍角の公式（式Ａ）に代入すると、
$\cos 2\beta=2\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}-1$
より
$\cos 2\beta=-\dfrac{7}{8}$
となる。

解答セ：－, ソ：７, タ：８

これをもう一度２倍角の公式（式Ａ）に代入すると
$\cos 2(2\beta)=2\left(-\dfrac{7}{8}\right)^{2}-1$
とかける。

これを計算して、
$$ \begin{align} \cos 4\beta&=\dfrac{49}{32}-1\\ &=\dfrac{17}{32} \end{align} $$ である。

解答チ：１, ツ：７, テ：３, ト：２

ここで、式Ｄの３辺を$4$倍すると
$\dfrac{4}{3}\pi \lt 4\beta \lt 2\pi$式Ｄ'
となるけど、これを図で表すと図Ｃの緑の範囲だ。

また、チツテトより$\cos 4\beta$は正の値であることが分かっている。
$\cos$が正なのは図Ｃのオレンジの範囲。

よって、$ 4\beta$は緑とオレンジの重なる部分に存在するので、第４象限の角だ。

解答ナ：４

この$ 4\beta$についてスを求めたときと同様に考える。

$\cos 4\beta=\dfrac{17}{32}$
で
$\dfrac{1}{2} \lt \dfrac{17}{32} \lt \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
なので、$ 4\beta$は図Ｄのような角であることが分かる。

図Ｄの緑の範囲は、ナで求めた$ 4\beta$の存在範囲だ。
なので、$ 4\beta$はこの範囲にあるものとして考える。

図Ｄのように、第４象限にあって
$\cos$が$\dfrac{1}{2}$の角を$\mathrm{A}$ $\cos$が$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$の角を$\mathrm{B}$ とすると、$ 4\beta$は
$\mathrm{A} \lt 4\beta \lt \mathrm{B}$式Ｅ
であることが分かる。

ここで、
$\mathrm{A}=2\pi-\dfrac{\pi}{3}$
なので、
$$ \begin{align} \mathrm{A}&=\dfrac{6-1}{3}\pi\\ &=\dfrac{5}{3}\pi \end{align} $$ $\mathrm{B}=2\pi-\dfrac{\pi}{4}$
なので、
$$ \begin{align} \mathrm{B}&=\dfrac{8-1}{4}\pi\\ &=\dfrac{7}{4}\pi \end{align} $$ である。

よって、式Ｅは
$\dfrac{5}{3}\pi \lt 4\beta \lt \dfrac{7}{4}\pi$
とかける。

この式の３辺を$4$で割って、$\beta$の存在範囲は
$\dfrac{5}{12}\pi \lt \beta \lt \dfrac{7}{16}\pi$式Ｆ
である。

解答ニ：８

アドバイス

上の解を見て、「あれ？式Ｄは？」って思う人がいるかも知れない。
確かに$\beta$の存在範囲は式Ｄと式Ｆの共通部分だ。

式Ｆを求めた作業を振り返ってみる。
式Ｄを式Ｄ'に変形して、図Ｃの緑の範囲をつくった。
これとオレンジの範囲の重なる部分を求めて、図Ｄの緑の範囲とした。
この緑の範囲の中で、式Ｆをつくった。
つまり、式Ｆは式Ｄの範囲に含まれる。

なので、式Ｆを求めた後に もう一度 式Ｄとの共通部分を考える必要はない。