大学入学共通テスト 2022年(令和4年) 本試 数学ⅡB 第3問 解説
(1)
最初に、二項分布の復習をしよう。
復習
確率$p$で事象$\mathrm{A}$が起こる試行を$n$回繰り返し、$\mathrm{A}$が起こった回数を$X$とすると、$X$の確率分布は二項分布$B(n,p)$である。
確率変数$X$の
平均(期待値)は、$np$
分散は、$np(1-p)$
標準偏差は、$\sqrt{np(1-p)}$
になる。
この問題の
ジャガイモが大量にあって、そのうち$25$%が200gを超える。ここから$400$個抽出するとき、200gを超えるジャガイモが何個取り出されるか
は、
$400$回の試行のうち、確率$0.25$で起こる事象が何回起こるか
と同じことだ。
よって、復習から、抽出された200gを超えるジャガイモの数$Z$は、
二項分布$B(400,0.25)$
に従う。
解答ア:2, イ:5
また、その平均(期待値)は、復習より
$400\cdot 0.25=100$
である。
解答ウ:1, エ:0, オ:0
(2)
さらに、確率変数の変換の復習をしておく。
復習
確率変数$A$があり、その
平均(期待値)を$E(A)$
分散を$V(A)$
標準偏差を$\sigma(A)$
とする。
定数$p$,$q$を使って、新たな確率変数
$B=pA+q$
をつくる。
このとき、確率変数$B$の
平均は$pE(A)+q$
分散は$p^{2}V(A)$
標準偏差は$|p|\sigma(A)$
となる。
復習より、$R$の標準偏差$\sigma(R)$は、
$\sigma(R)=\left|\dfrac{1}{400}\right|$($Z$の標準偏差)式A
とかける。
いま、(1)の復習より、$Z$の標準偏差は
$\sqrt{400\cdot 0.25\cdot(1-0.25)}=\sqrt{75}$
なので、式Aは
$\sigma(R)=\left|\dfrac{1}{400}\right|\sqrt{75}$
と表せる。
これを計算して、
$$
\begin{align}
\sigma(R)&=\dfrac{\sqrt{75}}{400}\\
&=\dfrac{5\sqrt{3}}{400}\\
&=\dfrac{\sqrt{3}}{80}
\end{align}
$$
である。
解答カ:2
同様に、$R$の平均(期待値)$E(R)$は、
$ E(R)=\dfrac{1}{400}\cdot$($Z$の平均)
にウエオを代入して、
$$
\begin{align}
E(R)&=\dfrac{1}{400}\cdot 100\\
&=0.25
\end{align}
$$
となる。
ここで、二項分布と正規分布の関係の復習をすると、
復習
$n$が十分に大きいとき、二項分布$B(n,p)$は、正規分布$N(np,np(1-p))$で近似できる。
このとき、
$np$は確率変数の平均
$np(1-p)$は分散
だった。
$400$は十分に大きいので、復習より、$R$は正規分布で近似できる。
上で求めたように、
$R$の平均は$0.25$
$R$の標準偏差は$\dfrac{\sqrt{3}}{80}$なので、分散は$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{80}\right)^{2}$
だから、近似的に$R$が従う正規分布は
$N\left(0.25,\left(\dfrac{\sqrt{3}}{80}\right)^{2}\right)$
である。
このことから、$R$の確率分布図は図Aのようになる。
ここで、
$P(R\geqq x)=0.0465$
となるとき、図Aでいうと、オレンジの部分の面積が$0.0465$になるときを考える。
このときの$x$、つまり赤い線の$R$の値がキだ。
正規分布の面積なので、正規分布表を使おう。
正規分布表に載っているのは、標準正規分布(図B)の面積。
図Bのオレンジの部分の面積が$0.0465$になるのは、緑の部分の面積が
$0.5-0.0465=0.4535$
になるとき。
$0.4535$を正規分布表で探すと、
$z_{0}=1.68$式B
であることが分かる。
これがキだ、と言いたいところだけど、図Aと図Bでは目盛が違うので 式Bの値をそのまま使うわけにはいかない。
なので、目盛をそろえよう。
つまり、図Bの標準正規分布$N(0,1)$を、図Aの$N\left(0.25,\left(\dfrac{\sqrt{3}}{80}\right)^{2}\right)$に変換しよう。
平均が$0$ 標準偏差が$1$
平均が$0.25$ 標準偏差が$\dfrac{\sqrt{3}}{80}$
なので、
平均を$0$から$0.25$に
標準偏差を$1$から$\dfrac{\sqrt{3}}{80}$に
変えればよい。
(2)の最初にした確率変数の変換の復習から、
平均を$0.25$大きくするためには、確率変数に$0.25$をたす
標準偏差を$\dfrac{\sqrt{3}}{80}$倍にするには、確率変数に$\dfrac{\sqrt{3}}{80}$をかける
作業をすればよい。
よって、
$\fbox{キ}=\dfrac{\sqrt{3}}{80}Z_{0}+0.25$
とかけるから、これに式Bと$\sqrt{3}=1.73$を代入して、
$$
\begin{align}
\fbox{キ}&=\dfrac{1.73}{80}\cdot 1.68+0.25\\
&\doteqdot 0.286
\end{align}
$$
である。
解答キ:2
(3)
確率変数$X$は
$100\leqq X\leqq 300$
であり、$X$の確率密度関数を
$f(x)=ax+b$
とする。
$X$は$100\leqq X\leqq 300$以外の値にはならないので、
$P(100\leqq X\leqq 300)$
はすべての確率の和だ。
すべての確率の和は$1$だから、
$P(100\leqq X\leqq 300)=1$
である。
解答ク:1
以上を確率分布図で表すと、図Cができる。
図Cは確率分布図なので、確率は $f(x)$と横軸の間の面積に等しい。
なので、クで求めた
$P(100\leqq X\leqq 300)=1$
は、図Cの緑の部分の面積にあたる。
図Cの緑の部分の面積は
$\displaystyle \int_{100}^{300}f(x)\,dx=\int_{100}^{300}(ax+b)\,dx$
とかける。
この面積が$1$なので、
$\displaystyle \int_{100}^{300}(ax+b)\,dx=1$式C
だ。
式Cを計算して、$a$と$b$の関係式をつくる。
積分してもいいんだけど、せっかくだから違う方法をしよう。
台形の面積として求める。
台形の面積の公式
$\dfrac{1}{2}\times($上底$+$下底$)\times$高さ
より、緑の部分の面積は
緑$=\dfrac{1}{2}\cdot\{f(100)+f(300)\}\cdot(300-100)$
とかける。
緑の部分の面積は$1$なので、
$\dfrac{1}{2}\{f(100)+f(300)\}\cdot(300-100)=1$
これを計算して、
途中式
$\dfrac{1}{2}\{(100a+b)+(300a+b)\}\cdot 200=1$
$100(400a+2b)=1$
$10^{2}(4\cdot 10^{2}a+2b)=1$
である。
解答ケ:4, コ:2
別解
式Cを積分してケコ求めると、次のようになる。
$\displaystyle \int_{100}^{300}(ax+b)\,dx=1$
を計算して、
$\left[\dfrac{a}{2}x^{2}+bx\right]_{100}^{300}=1$
途中式
$\begin{aligned}&\left(\dfrac{a}{2}\cdot 300^{2}+b\cdot 300\right)\\&\hspace{80px}-\left(\dfrac{a}{2}\cdot 100^{2}+b\cdot 100\right)=1\end{aligned}$
$100\left\{\begin{aligned}&\left(\dfrac{a}{2}\cdot 3\cdot 300+b\cdot 3\right)\\&\hspace{40px} -\left(\dfrac{a}{2}\cdot 100+b\right)\end{aligned}\right\}=1$
$100(400a+2b)=1$
$10^{2}(4\cdot 10^{2}a+2b)=1$
である。
解答ケ:4, コ:2
$a$と$b$の関係式がひとつできた。
もうひとつ式があると、連立方程式で$a$と$b$の値が求められる。
なので、もうひとつ式をつくろう。
$X$の平均$m$は
$$
\begin{align}
m&=\int_{100}^{300}xf(x)\,dx\\
&=\int_{100}^{300}x(ax+b)\,dx \class{tex_formula}{式D}
\end{align}
$$
とかける。
これを計算して、$m$を標本平均の$180$とすると、問題文より
$\dfrac{26}{3}\cdot 10^{6}a+4\cdot 10^{4}b=180$②
ができる。
問題を解くときには式Dから②への計算はしなくてもいいけど、念のために計算を次に載せておく。
式Dから②への計算
$\displaystyle m=\int_{100}^{300}x(ax+b)dx$
を計算すると、
$\displaystyle m=\int_{100}^{300}(ax^{2}+bx)dx$
より
$m=\left[\dfrac{a}{3}x^{3}+\dfrac{b}{2}x^{2}\right]_{100}^{300}$
とかける。
これはさらに、
$$
\begin{align}
m&=\left(\dfrac{a}{3}\cdot 300^{3}+\dfrac{b}{2}\cdot 300^{2}\right)\\
&\hspace{100px} -\left(\dfrac{a}{3}\cdot 100^{3}+\dfrac{b}{2}\cdot 100^{2}\right)\\
&=100^{2}\left\{\begin{aligned}&\left(\dfrac{a}{3}\cdot 3^{2}\cdot 300+\dfrac{b}{2}\cdot 3^{2}\right)\\&\hspace{60px}-\left(\dfrac{a}{3}\cdot 100+\dfrac{b}{2}\right)\end{aligned}\right\}\\
&=10^{4}\left(\dfrac{26}{3}\cdot 10^{2}a+4b\right)\\
&=\dfrac{26}{3}\cdot 10^{6}a+4\cdot 10^{4}b
\end{align}
$$
と計算できる。
この$m$を標本平均の$180$とすると、
$\dfrac{26}{3}\cdot 10^{6}a+4\cdot 10^{4}b=180$②
となり、問題文中の②式ができる。
$a$と$b$の関係式が2つできたので、連立方程式にして$a$,$b$を求めよう。
$a$,$b$が分かると、$f(x)$が求められる。
①と②の連立方程式
$\left\{\begin{array}{l}
4\cdot 10^{4}a+2\cdot 10^{2}b=1 \class{tex_formula}{①}\\
\dfrac{26}{3}\cdot 10^{6}a+4\cdot 10^{4}b=180 \class{tex_formula}{②}
\end{array}\right.$
を解く。
②の両辺を$3$倍して、
$26\cdot 10^{6}a+12\cdot 10^{4}b=560$
①の両辺を$6\cdot 10^{2}$倍して、
$24\cdot 10^{6}a+12\cdot 10^{4}b=600$
この2つの式を辺々引くと、
$26\cdot 10^{6}a$ | $+12\cdot 10^{4}b$ | $=$ | $540$ | |
$-)$ | $24\cdot 10^{6}a$ | $+12\cdot 10^{4}b$ | $=$ | $600$ |
$2\cdot 10^{6}a$ | $=$ | $-60$ |
なので、
途中式
$$
\begin{align}
a&=-\dfrac{60}{2\cdot 10^{6}}\\
&=-\dfrac{3}{10^{5}}
\end{align}
$$
より
となる。
これを①に代入して、
$4\cdot 10^{4}\cdot(-3\cdot 10^{-5})+2\cdot 10^{2}b=1$
より
$-12\cdot 10^{-1}+2\cdot 10^{2}b=1$
$10^{-1}$は面倒なので、両辺を$10$倍して、
$-12+2\cdot 10^{3}b=10$
途中式
$2\cdot 10^{3}b=22$
$$
\begin{align}
b&=\dfrac{22}{2\cdot 10^{3}}\\
&=\dfrac{11}{10^{3}}
\end{align}
$$
より
である。
よって、$f(x)$は、
$f(x)=-3\cdot 10^{-5}x+11\cdot 10^{-3}$③
となる。
解答サ:3, シ:1, ス:1
最後に問われているのは、200g以上のジャガイモの割合だ。
200g以上の割合は、ジャガイモを1個取り出したときに200g以上である確率と等しい。
なので、この確率を求める。
使うのは、③の$f(x)$だ。
マイナスの指数表記だとイメージがわかないって人もいるだろうから、③を
$f(x)=-\dfrac{3}{10^{5}}x+\dfrac{11}{10^{3}}$
と変形しておく。
もちろん、③式のままで大丈夫な人は変形しなくてOK。
図Cのときと同様に考えると、ジャガイモが200g以上である確率は、図Dの斜線部分の面積にあたる。
これがセだ。
さっきと同じように台形の面積として求めると、
$\fbox{セ}=\dfrac{1}{2}\cdot\{f(200)+f(300)\}\cdot(300-200)$
途中式
$$
\begin{align}
\phantom{\fbox{セ}}&=\dfrac{1}{2}\left\{\begin{aligned}&\left(-\dfrac{3}{10^{\cancelto{3}{5}}}\cdot 2\cancel{00}+\dfrac{11}{10^{3}}\right)\\& +\left(-\dfrac{3}{10^{\cancelto{3}{5}}}\cdot 3\cancel{00}+\dfrac{11}{10^{3}}\right)\end{aligned}\right\} 100\\
&=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{10^{\cancel{3}}}\left\{\begin{aligned}(-& 6+11)\\& +(-9+11)\end{aligned}\right\}\cancel{100}\\
&=\dfrac{1}{\cancel{2}}\cdot\dfrac{1}{10}\cdot \cancelto{3.5}{7}\\
\end{align}
$$
なので、
セは$ 35\%$となる。
解答セ:2
別解
図Dの斜線部分の面積を積分して求めると、次のようになる。
$\displaystyle \fbox{セ}=\int_{200}^{300}f(x)\,dx$
より
$$
\begin{align}
\fbox{セ}&=\int_{200}^{300}\left(-\dfrac{3}{10^{5}}x+\dfrac{11}{10^{3}}\right)\,dx\\
&=\dfrac{1}{10^{3}}\int_{200}^{300}\left(-\dfrac{3}{10^{2}}x+11\right)\,dx
\end{align}
$$
とかける。
これを計算して、
$\fbox{セ}=\dfrac{1}{10^{3}}\left[-\dfrac{3}{2\cdot 10^{2}}x^{2}+11x\right]_{200}^{300}$
途中式
$$
\begin{align}
\phantom{\fbox{セ}}&=\dfrac{1}{10^{3}}\left\{\begin{aligned}&\left(-\dfrac{3}{2\cdot 10^{2}}\cdot 300^{2}+11\cdot 300\right)\\& -\left(-\dfrac{3}{2\cdot 10^{2}}\cdot 200^{2}+11\cdot 200\right)\end{aligned}\right\}\\
&=\dfrac{1}{10^{3}}\left(\begin{aligned}-&\dfrac{3}{2}\cdot 3\cdot 300+11\cdot 300\\& +\dfrac{3}{2}\cdot 2\cdot 200-11\cdot 200\end{aligned}\right)\\
&=\dfrac{1}{10^{3}}\left\{\begin{aligned}\dfrac{3}{2}\cdot(-3\cdot& 300+2\cdot 200)\\& +11(300-200)\end{aligned}\right\}\\
&=\dfrac{1}{10^{3}}(-750+1100)\\
&=\dfrac{1}{10^{3}}\cdot 350
\end{align}
$$
なので、
セは$ 35\%$となる。
解答セ:2