$y=(ax+b)(cx+d)$式Ａ
のグラフを$C$とする。

最初に$C$の概形を考えておこう。

式Ａを展開すると
$y=acx^{2}+(ad+cb)x+bd$
となる。

よって、$C$は
$ac \gt 0$，つまり$a$と$c$が同符号のとき、
               下に凸の放物線 $ac \lt 0$，つまり$a$と$c$が異符号のとき、
               上に凸の放物線 である。

また、問題より$a\neq 0$，$c\neq 0$なので、 $ac=0$にはならない $s$，$t$は必ず存在する ことになる。

これを頭に入れて問題を解こう。

(i)

$s=-1$，$t=5$のとき、あのグラフは図Ａのようになる。

このとき
$\left\{\begin{array}{l} a \gt 0\\ c \lt 0 \end{array}\right.$
より
$ac \lt 0$
なので、
$C$は上に凸の放物線 である。

また、
$x=-1$のとき $ax+b=0$ $x=5$のとき $cx+d=0$ なので、$x=-1$，$5$のとき$(ax+b)(cx+d)=0$だ。
よって、
$C$は$x$軸と$x=-1$，$5$で交わる ことが分かる。

以上より、このときの$C$は図Ｂのグラフだ。

$x$の定義域はすべての実数なので、図Ｂのグラフは赤い点で最大となる。
赤い点の$x$座標は$-1$と$5$の中点なので、
$\displaystyle \frac{-1+5}{2}=2$
である。

解答ア：２, イ：０

(ii)

$s=6$，$t=8$のとき、いのグラフは図Ｃのようになる。

(i)と同様に考えると、このときの$C$は
$ac \gt 0$なので下に凸 $x=6$，$8$で$x$軸と交わる ような放物線だから、図Ｄのグラフだ。

図Ｂのときと同様に考えると、図Ｄのグラフは
$x=\displaystyle \frac{6+8}{2}$
$\phantom{ x } =7$
で最小値をとる。

解答ウ：７, エ：１

これまでの作業から、$C$は

$x$軸と異なる２点$(s,0)$，$(t,0)$で交わる

ことが分かる。
また、

$a$と$c$が同符号のとき 最小値 $a$と$c$が異符号のとき 最大値 をもち、そのときの$x$座標は
$\displaystyle \frac{s+t}{2}$式Ｂ

である。

あの場合、$a$と$c$は異符号なので最大値をもつ。

最大値をとるときの$x$の値は、式Ｂより
$x=\displaystyle \frac{s+t}{2}$
だけど、いま$s=-1$なので、この式は
$x=\displaystyle \frac{-1+t}{2}$
とかける。

これが
$0 \lt x \lt 10$
の範囲にあればよいので、このときの$t$の範囲は
$0 \lt \displaystyle \frac{-1+t}{2} \lt 10$
と表せる。

これを解く。

各辺に$2$をかけて、
$0 \lt -1+t \lt 20$
各辺に$1$をたして、求める$t$の範囲は
$1 \lt t \lt 21$
である。

解答オ：１, カ：２, キ：１

(1)より、$y$に最大値があるのは
$a$と$c$が異符号 の場合。

これに当てはまるのは、選択肢のグラフのうち
あ
だけである。

解答ク：０

(1)より、$C$は$x$軸と異なる２点で交わる。

なので、$C$が最小値をもつ場合、つまり下に凸の放物線の場合、頂点は$x$軸より下に存在するから 最小値は負だ。

よって、最小値が$0$以上になることはない。

解答ケ：７

い～おの場合、$a$と$c$が同符号なので最小値をもつ。

い～おそれぞれの$x$軸上に$x=s$，$x=t$となる点を書き込むと、図Ｅができる。

式Ｂより、最小値をとる$x$は$s$，$t$の真ん中。
これが$x \gt 0$の範囲にあるのは、図Ｅの４つのグラフのうち
いえ
の２つである。

解答コ：３