大学入学共通テスト 2022年(令和4年) 本試 数学Ⅰ 第2問 [1] 解説

解説

問題文中の図1の△$\mathrm{ABC}$は直角三角形なので、
$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{C}}{\mathrm{A}\mathrm{C}}=\tan\theta$
だけど、$\theta$はちょうど$16^{\circ}$だから、
$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{C}}{\mathrm{A}\mathrm{C}}=\tan 16^{\circ}$式A
とかける。

三角比の表を見ると
$\tan 16^{\circ}=0.2867$
とあるから、式Aは
$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{C}}{\mathrm{A}\mathrm{C}}=0.2867$
と表せる。

なので、
$\mathrm{AC}=1$
とおくと、
$\mathrm{BC}=0.2867$
となる。(図A)

図A
大学入学共通テスト2022年本試 数学Ⅰ第2問[1] 解説図A

ところが、この図は水平方向と鉛直方向の縮尺が異なっている。

水平方向の縮尺は$\displaystyle \frac{1}{100000}$
鉛直方向の縮尺は$\displaystyle \frac{1}{25000}$

なので、
$\displaystyle \frac{1}{25000}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{100000}$
より
鉛直方向の縮尺$\displaystyle \times\frac{1}{4}=$水平方向の縮尺
である。

よって、図Aを鉛直方向(縦方向)に$\displaystyle \frac{1}{4}$倍すると、縦横の縮尺が等しくなって、実際の地形と同じ形になる。(図Bの緑の部分)

図B
大学入学共通テスト2022年本試 数学Ⅰ第2問[1] 解説図B

以上より、実際に地点Aから山頂を見上げる角は 図B中の$\angle \mathrm{B}'\mathrm{AC}$にあたる。

アドバイス

問題文では、図Bの点Bと点B'を区別せずに 両方を「B」と呼んでいる。
問題文中、
図1より前に出てくる「B」は、図Bの点B 図1より後に出てくる「B」は、図Bの点B' にあたる。


ここまで分かると勝ったも同然だ。
まず、$\mathrm{tan}\angle \mathrm{B}'\mathrm{AC}$から。
上のアドバイスに書いたように、問題文中には$\tan\angle \mathrm{BAC}$とあるけど、混乱しないように。

図C
大学入学共通テスト2022年本試 数学Ⅰ第2問[1] 解説図C

これまでに考えたことから、
$\mathrm{AC}=1$ とおいた場合、
$\displaystyle \mathrm{B}'\mathrm{C}=\frac{1}{4}\mathrm{BC}$
$\phantom{ \mathrm{B}'\mathrm{C} } \displaystyle =\frac{1}{4}\cdot 0.2867$
$\phantom{ \mathrm{B}'\mathrm{C} } =0.071675$
となる。

よって、$\tan\angle \mathrm{B}'\mathrm{AC}$は
$\displaystyle \tan\angle \mathrm{B}'\mathrm{AC}=\frac{0.071675}{1}$
$\phantom{ \tan\angle \mathrm{B}'\mathrm{AC} } =0.071675$式B
と求められる。

ところが、回答欄は
$.$イウエ
で、小数点以下3桁だ。

なので、式Bを小数第4位で四捨五入して、答えは
$\tan\angle \mathrm{B}'\mathrm{AC}\doteqdot 0.072$
である。

解答ア:0, イ:0, ウ:7, エ:2


さらに、三角比の表を見ると

$\left(\begin{array}{l} \tan 4^{\circ}\\ =0.0699 \end{array}\right)$ $ \lt $$\left(\begin{array}{l} \tan\angle \mathrm{B}\mathrm{A}'\mathrm{C}\\ \doteqdot 0.072 \end{array}\right)$$ \lt $$\left(\begin{array}{l} \tan 5^{\circ}\\ =0.0875 \end{array}\right)$

であることが分かる。

よって、
$4^{\circ} \lt \angle \mathrm{B}'\mathrm{AC} \lt 5^{\circ}$
となるので、の回答群のうち

が正しい。

解答オ:2