$5^{4}$を$2^{4}$で割ったときの余りが$1$なので、このときの商を$A$とすると、
$5^{4}\div 2^{4}=A\ldots 1$
より
$5^{4}=2^{4}A+1$
$5^{4}-2^{4}A=1$
とかける。

この式と 問題文中の①式を見比べると、①式は
$\left\{\begin{array}{l} x=1\\ y=A \end{array}\right.$
で成り立つことが分かる。

$1$は最小の正の整数なので、
$x$が正の整数で最小になるのは
$x=1$
のとき。

解答ア：1

このときの$y$は、
$5^{4}-2^{4}y=1$
より
$2^{4}y=5^{4}-1$
$$ \begin{align} y=&\dfrac{5^{4}-1}{2^{4}}\\ &=\dfrac{624}{2^{4}}\\ &=39 \end{align} $$ である。

解答イ：3, ウ：9

①式の整数解がひとつ見つかったので、あとは定期テストなんかでよく見るお決まりの作業だ。

アイウと①式より
$5^{4}\cdot 1-2^{4}\cdot 39=1$式Ａ
という式がつくれる。

①式から式Ａを辺々引くと

	$5^{4}x$	$-2^{4}y$	$=1$
$-)$	$5^{4}\cdot 1$	$-2^{4}\cdot 39$	$=1$
	$5^{4}(x-1)$	$-2^{4}(y-39)$	$=0$

となるから、
$5^{4}(x-1)=2^{4}(y-39)$
と表せる。

この式が成り立つためには、$5^{4}$と$2^{4}$は互いに素なので、$n$を整数として
$\left\{\begin{array}{l} x-1=2^{4}n\\ y-39=5^{4}n \end{array}\right.$
より
$\left\{\begin{array}{l} x=16n+1 \class{tex_formula}{式Ｂ}\\ y=625n+39 \class{tex_formula}{式Ｃ} \end{array}\right.$
でなければならない。

問われているのは、この$x$が2桁の正の整数のとき。
つまり、
$10\leqq x$
のとき。

これを$n$の範囲で表すと、式Ｂより
$10\leqq 16n+1$

途中式

$9\leqq 16n$
$\dfrac{9}{16}\leqq n$
となるけど、$n$は整数なので、$x$が2桁の正の整数になるのは

$1\leqq n$式Ｄ
のとき。

式Ｂを見ると、$n$が大きくなるにつれて$x$も大きくなる。
なので、$n$が最小のとき、$x$も最小になる。

よって、式Ｄを満たす最小の$n$である
$n=1$
のときの$x$，$y$が答えだ。

答えは、$n=1$を式Ｂ，式Ｃに代入して、
$$ \begin{align} x&=16\cdot 1+1\\ &=17 \end{align} $$ $$ \begin{align} y&=625\cdot 1+39\\ &=664 \end{align} $$ である。

解答エ：1, オ：7, カ：6, キ：6, ク：4

$625=5^{4}$
なので、
$$ \begin{align} 625^{2}&=(5^{4})^{2}\\ &=5^{8} \end{align} $$ である。

解答ケ：8

$$ \begin{align} m&=\fbox{イウ}\\ &=39 \end{align} $$ のとき、式Ａより
$5^{4}\cdot 1-2^{4}m=1$
$625=2^{4}m+1$
とかける。

この両辺を2乗すると、
$$ \begin{align} 625^{2}&=(2^{4}m+1)^{2}\\ &=2^{8}m^{2}+2\cdot 2^{4}m+1^{2}\\ &=2^{8}m^{2}+2^{5}m+1 \class{tex_formula}{式Ｅ} \end{align} $$ となって、問題文と同じ式ができる。

解答コ：5

問題文にあるように、
②の解の$x$について、$5^{5}x-625^{2}$は$5^{5}\cdot 2^{5}$の倍数 である。

詳しく

共通テスト本番では、問題文の
「$5^{5}x-625^{2}$は$5^{5}\cdot 2^{5}$の倍数である」
をそのまま使って、理由を考える必要はない。
時間がもったいないから。
理由を説明すると、以下のようになる。

$x$は整数だから、$5^{5}x$は$5^{5}$の倍数 $625^{2}=5^{8}$は$5^{5}$の倍数 なので、$5^{5}x-625^{2}$は$5^{5}$の倍数である。

②式を変形すると
$5^{5}x=2^5y+1$
となり、$y$は整数だから、
$5^{5}x$は$2^{5}$の倍数$+1$
式Ｅを変形すると
$625^{2}=2^{5}(2^{3}m^{2}+m)+1$
となり、$m$は整数だから、
$625^{2}$は$2^{5}$の倍数$+1$
よって、
$$ \begin{align} 5^{5}x-625^{2}&=(2^{5}\text{の倍数}+1)\\ &\hspace{60px}-(2^{5}\text{の倍数}+1)\\ &=2^{5}\text{の倍数}-2^{5}\text{の倍数} \end{align} $$ なので、$5^{5}x-625^{2}$は$2^{5}$の倍数である。

以上より、
$5^{5}x-625^{2}$は$5^{5}\cdot 2^{5}$の倍数である

よって、$\ell$を整数として
$ 5^{5}x-625^{2}=5^{5}\cdot 2^{5}\ell$
とかける。

これを変形すると、$x$は
$ 5^{5}x-5^{8}=5^{5}\cdot 2^{5}\ell$
$ x-5^{3}=2^{5}\ell$
$x=2^{5}\ell+5^{3}$式Ｆ
と表せる

問われているのは、この$x$が3桁の正の整数のとき。
つまり
$100\leqq x \lt 1000$
のとき。

これを$\ell$の範囲で表すと、式Ｆより
$100\leqq 2^{5}\ell+5^{3} \textcolor{royalblue}{\lt 1000}$式Ｇ
とかける。

式Ｆを見ると、$\ell$が大きくなるにつれて$x$も大きくなる。
つまり、$x$が最小になるのは$\ell$が最小のときだ。
なので、式Ｇの青い部分の計算は省略する

式Ｇを変形すると
$ 100-5^{3}\leqq 2^{5}\ell$
$-25\leqq 32\ell$
$-\dfrac{25}{32}\leqq\ell$
だけど、$\ell$は整数なので、
$ 0\leqq\ell$
となる。

これを満たす最小の$\ell$である
$\ell=0$
のときの$x$，$y$が答えだ。

$x$の答えは、式Ｆに$\ell=0$を代入して、
$$ \begin{align} x&=5^{3}\\ &=125 \end{align} $$

解答サ：1, シ：2, ス：5

$y$の答えは、$x=5^{3}$を②式に代入して、
$5^{5}\cdot 5^{3}-2^{5}y=1$
$5^{8}-2^{5}y=1$

これを解いて、
$2^{5}y=5^{8}-1$
$y=\dfrac{5^{8}-1}{2^{5}}$式Ｈ

途中式

$$ \begin{align} \phantom{y}&=\dfrac{(5^{4}+1)(5^{4}-1)}{2^{5}}\\ &=\dfrac{(625+1)(625-1)}{2^{5}}\\ &=\dfrac{\cancel{624}^{39} \cdot \cancel{626}^{313}}{\cancel{2^{5}}}\\ &=39\cdot 313 \end{align} $$

$\phantom{y}=12207$
である。

解答セ：1, ソ：2, タ：2, チ：0, ツ：7

ここで、数字が$11^{4}$と$2^{4}$に変わった。
これまで$5^{4}$と$2^{4}$を使って解いてきたのと同じ作業を 違う数字でしなさい、という問題だ。
なので、(1)のはじめから、$11^{4}$と$2^{4}$でやってみよう。

$11^{4}$を$2^{4}$で割ったときの余りが$1$なので、このときの商を$B$とすると、
$11^{4}\div 2^{4}=B\ldots 1$
より
$11^{4}=2^{4}B+1$
とかける。

この式の両辺を2乗すると、
$(11^{4})^{2}=(2^{4}B+1)^{2}$
$$ \begin{align} 11^{8}&=2^{8}B^{2}+2\cdot 2^{4}B+1^{2}\\ &=2^{8}B^{2}+2^{5}B+1 \end{align} $$ となる。

なので、$11^{8}$を$2^{5}$で割った余りは
$1$
であることが分かる。

また、問題の不定方程式
$11^{5}x-2^{5}y=1$
より、$11^{5}x$を$2^{5}$で割った余りは
$1$
であるはずだ。

よって、(3)で考えたのと同様に、
$11^{5}x-11^{8}$は$11^{5}\cdot 2^{5}$の倍数 であることが分かる。

なので、$k$を整数として、問題の不定方程式の解$x$は
$11^{5}x-11^{8}=11^{5}\cdot 2^{5}k$
より
$x-11^{3}=2^{5}k$
$x=2^{5}k+11^{3}$式Ｉ
と表せる。

いま問われているのは、この$x$が正の整数のとき。
つまり
$1\leqq x$
のとき。

これを$k$の範囲で表すと、式Ｉより
$1\leqq 2^{5}k+11^{3}$

途中式

$1-11^{3}\leqq 32k$
$-1330\leqq 32k$
$-\dfrac{1330}{32}\leqq k$
となる。
ここで、$k$は整数で、
$-\dfrac{1330}{32}\doteqdot-41.5\ldots$
くらいの数なので、$x$が正の整数になるのは

$-41\leqq k$式Ｊ
のとき。

式Ｉを見ると、$k$が大きくなるにつれて$x$も大きくなる。
なので、$k$が最小のとき、$x$も最小だ。

よって、式Ｊを満たす最小の$k$である
$k=-41$
のときの$x$，$y$が答えだ。

$x$の答えは、式Ｉに$k=-41$を代入して、
$$ \begin{align} x&=2^{5}(-41)+11^{3}\\ &=32(-41)+1331\\ &=-1312+1331\\ &=19 \end{align} $$ である。

解答テ：1, ト：9

このときの$y$は、問題文中の不定方程式
$11^{5}x-2^{5}y=1$
に
$x=19$
を代入して、
$11^{5}\cdot 19-2^{5}y=1$
より
$2^{5}y=11^{5}\cdot 19-1$
$y=\dfrac{11^{5}\cdot 19-1}{2^{5}}$
とかける。

こんな計算はしたくないけど、仕方がない。

右辺の分子を展開して、
$$ \begin{align} y&=\dfrac{161051\times 19-1}{2^{5}}\\ &=\dfrac{3059968}{2^{5}}\\ &=95624 \end{align} $$ である。

解答ナ：9, ニ：5, ヌ：6, ネ：2, ノ：4