大学入学共通テスト 2022年(令和4年) 本試 数学ⅠA 第5問 解説
(1)
図Aのように、
点$\mathrm{G}$は△$\mathrm{ABC}$の重心なので、
$\mathrm{AG}:\mathrm{GE}=2:1$
点$\mathrm{D}$は線分$\mathrm{AG}$の中点なので、
$\mathrm{AD}=\mathrm{DG}$
である。
よって、
$\mathrm{AD}=\mathrm{DG}=\mathrm{GE}$
となるから、
$\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DE}}=\dfrac{1}{2}$
である。
解答ア:1, イ:2
次の $\dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}$ は、三角形のひとつの辺$\mathrm{AB}$について、
$\dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}=\dfrac{\text{一方の頂点から分点}}{\text{他方の頂点から分点}}$
である。
なので、考えるのはチェバの定理かメネラウスの定理だ。
ここでは、メネラウスの定理を使う。
図Bの△$\mathrm{ABE}$(緑の三角形)と直線$\mathrm{PF}$(赤い直線)にメネラウスの定理を使うと、
$\dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}\cdot\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DE}}\cdot\dfrac{\mathrm{EF}}{\mathrm{BF}}=1$
とかける。
これにアイを代入して、
$\dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\mathrm{EF}}{\mathrm{BF}}=1$
より
$\dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}=2\times\dfrac{\mathrm{BF}}{\mathrm{EF}}$
である。
解答ウ:2, エ:1, オ:3
$\dfrac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}$についても同様に考える。
図Cの△$\mathrm{ACE}$(緑の三角形)と直線$\mathrm{PF}$(赤い直線)にメネラウスの定理を使うと、
$\dfrac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}\cdot\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DE}}\cdot\dfrac{\mathrm{EF}}{\mathrm{CF}}=1$
とかける。
これにアイを代入して、
$\dfrac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\mathrm{EF}}{\mathrm{CF}}=1$
より
$\dfrac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}=2\times\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{EF}}$式A
である。
解答カ:2, キ:2, ク:3
以上より
$$
\begin{align}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}+\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}&=2\times\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{EF}}+2\times\frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{EF}}\\
&=2\times\dfrac{\mathrm{BF}+\mathrm{CF}}{\mathrm{EF}} \class{tex_formula}{式B}
\end{align}
$$
と表せる。
ここで、点$\mathrm{G}$は△$\mathrm{ABC}$の重心だから、$\mathrm{AE}$は中線である。
つまり、点$\mathrm{E}$は辺$\mathrm{BC}$の中点だ。
よって、
$\mathrm{BE}=\mathrm{CE}$
なので、
$\mathrm{BF}=\mathrm{BE}+\mathrm{EF}$
$$
\begin{align}
\mathrm{CF}&=\mathrm{EF}-\mathrm{CE}\\
&=\mathrm{EF}-\mathrm{BE}
\end{align}
$$
とかける。
これを式Bに代入すると、
$$
\begin{align}
\dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}+\dfrac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}&=2\times\dfrac{\cancel{\mathrm{BE}}+\mathrm{EF}+\mathrm{EF}-\cancel{\mathrm{BE}}}{\mathrm{EF}}\\
&=2\times\dfrac{2\cancel{\mathrm{EF}}}{\cancel{\mathrm{EF}}}\\
&=4 \class{tex_formula}{式C}
\end{align}
$$
であることが分かる。
解答ケ:4
アドバイス
上の解説では、点$\mathrm{F}$を点$\mathrm{C}$の右にとった。
点$\mathrm{F}$を点$\mathrm{B}$の左にとった場合は次のような図になるけど、解法は全く変わらない。
(2)
さらに、図Dのような場合を考える。
方べきの定理から
$\mathrm{AQ}\cdot \mathrm{AC}=\mathrm{AP}\cdot \mathrm{AB}$
なので、
$6\mathrm{AQ}=9\mathrm{AP}$
$$
\begin{align}
\mathrm{AQ}&=\dfrac{9}{6}\mathrm{AP}\\
&=\dfrac{3}{2}\mathrm{AP} \class{tex_formula}{式D}
\end{align}
$$
となる。
解答コ:3, サ:2
これから$\mathrm{AP}$と$\mathrm{AQ}$を求めるんだけど、式Dだけじゃ無理。
で、これまでの作業を振り返ってみると、式Cの
$\dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}+\dfrac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}=4$式C
が使えそうだ。
具体的には、$\mathrm{BP}$,$\mathrm{CQ}$を$\mathrm{AP}$で表して、式Cに代入だ。
図Dより、
$\mathrm{BP}=9-\mathrm{AP}$
$$
\begin{align}
\mathrm{CQ}&=6-\mathrm{AQ}\\
&=6-\dfrac{3}{2}\mathrm{AP}
\end{align}
$$
この2式と式Dを式Cに代入すると、
$\dfrac{9-\mathrm{AP}}{\mathrm{AP}}+\dfrac{6-\cfrac{3}{2}\mathrm{AP}}{\cfrac{3}{2}\mathrm{AP}}=4$
という式ができる。
途中式
面倒な式に見えるけど、意外にそうでもなかったりする。
嬉しくないのは、繁分数の部分。
なので、ここから解決する。
繁分数の分母分子に$\cfrac{2}{3}$をかけて、
$\dfrac{9-\mathrm{AP}}{\mathrm{AP}}+\dfrac{\cfrac{2}{3}\left(6-\cfrac{3}{2}\mathrm{AP}\right)}{\cfrac{2}{3}\cdot\cfrac{3}{2}\mathrm{AP}}=4$
$\dfrac{9-\mathrm{AP}}{\mathrm{AP}}+\dfrac{4-\mathrm{AP}}{\mathrm{AP}}=4$
両辺に$\mathrm{AP}$をかけて、
$9-\mathrm{AP}+4-\mathrm{AP}=4\mathrm{AP}$
より
$6\mathrm{AP}=13$
となる。
よって、
$\mathrm{AP}=\dfrac{13}{6}$
である。
解答シ:1, ス:3, セ:6
これを式Dに代入して、$\mathrm{AQ}$は、
$$
\begin{align}
\mathrm{AQ}&=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{13}{6}\\
&=\dfrac{13}{4}
\end{align}
$$
となる。
解答ソ:1, タ;3, チ:4
次は$\mathrm{CF}$。
今までの作業から$\mathrm{CF}$が含まれている式を探すと、
$\dfrac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}=2\times\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{EF}}$式A
があった。
ここで、
$\mathrm{CQ}=6-\mathrm{AQ}$
$$
\begin{align}
\mathrm{EF}&=\mathrm{CF}+\dfrac{1}{2}\mathrm{BC}\\
&=\mathrm{CF}+4
\end{align}
$$
なので、式Aは
$\dfrac{6-\mathrm{AQ}}{\mathrm{AQ}}=2\times\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{CF}+4}$
と表せる。
これにソタチを代入して、
$\dfrac{6-\cfrac{13}{4}}{\cfrac{13}{4}}=2\times\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{CF}+4}$
より
途中式
$\dfrac{\cfrac{24-13}{\cancel{4}}}{\cfrac{13}{\cancel{4}}}=\dfrac{2\mathrm{CF}}{\mathrm{CF}+4}$
$\dfrac{11}{13}=\dfrac{2\mathrm{CF}}{\mathrm{CF}+4}$
$13\times 2\mathrm{CF}=11\times(\mathrm{CF}+4)$
$26\mathrm{CF}=11\mathrm{CF}+44$
$15\mathrm{CF}=44$
となる。
解答ツ:4, テ:4, ト:1, ナ:5
(3)
ここまで、点$\mathrm{D}$は$\mathrm{AG}$の中点であるという条件のもとに解いてきた。
ここからはこの条件をなくして、
$\dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}+\dfrac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}=10$
となる場合を考える。
つまり、(1)のケが$10$になるような
$\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DG}}$
の値を求めよ、ということだ。
というわけで、(1)でケを求めた作業を、
$\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DE}}=\dfrac{1}{2}$
としないで、$\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DE}}$のままでやり直してみる。
(1)では、図B,図Cの緑の三角形と赤い直線にメネラウスの定理を使って、
図Bより、
$\dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}\cdot\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DE}}\cdot\dfrac{\mathrm{EF}}{\mathrm{BF}}=1$式E
図Cより、
$\dfrac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}\cdot\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DE}}\cdot\dfrac{\mathrm{EF}}{\mathrm{CF}}=1$式F
という2つの式をつくった。
これをそれぞれ変形して
$\dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}=\dfrac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AD}}\cdot\dfrac{\mathrm{BF}}{\mathrm{EF}}$
$\dfrac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}=\dfrac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AD}}\cdot\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{EF}}$
とし、辺々たすと
途中式
$\dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}+\dfrac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}=\dfrac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AD}}\cdot\dfrac{\mathrm{BF}}{\mathrm{EF}}+\dfrac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AD}}\cdot\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{EF}}$
より
$\dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}+\dfrac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}=\dfrac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AD}}\left(\dfrac{\mathrm{BF}}{\mathrm{EF}}+\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{EF}}\right)$
と表せる。
ここで、(1)で考えたように
$\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{BF}=\mathrm{BE}+\mathrm{EF}\\
\mathrm{CF}=\mathrm{EF}-\mathrm{BE}
\end{array}\right.$
なので、式Gは
$$
\begin{align}
\dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}+\dfrac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}&=\dfrac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AD}}\cdot\dfrac{\cancel{\mathrm{BE}}+\mathrm{EF}+\mathrm{EF}-\cancel{\mathrm{BE}}}{\mathrm{EF}}\\
&=\dfrac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AD}}\cdot\dfrac{2\cancel{\mathrm{EF}}}{\cancel{\mathrm{EF}}}\\
&=2\cdot\dfrac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AD}}
\end{align}
$$
と変形できる。
なので、
$\dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}+\dfrac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}=10$
であるためには、
$2 \cdot \dfrac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AD}}=10$
より
$\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DE}}=\dfrac{1}{5}$式H
であればよい。
この式Hと、点$\mathrm{G}$が△$\mathrm{ABC}$の重心であることによる
$\mathrm{AG}:\mathrm{GE}=2:1$
を使って、問われている
$\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DG}}$
を求める。
頭の中だけで考えると混乱するので、分かっていることを図にしよう。
式Hより
$\mathrm{AD}:\mathrm{DE}=1:5$
なので、
点$\mathrm{D}$は$\mathrm{AE}$を$6$等分した内分点のうち、点$\mathrm{A}$の隣の点
$$
\begin{align}
\mathrm{AG}:\mathrm{GE}&=2:1\\
&=4:2
\end{align}
$$
なので、
点$\mathrm{G}$は$\mathrm{AE}$を$6$等分した内分点のうち、点$\mathrm{E}$から2つめの点
である。
これを図にすると、図Eができる。
図Eより、
$\mathrm{AD}:\mathrm{DG}=1:3$
なので、
$\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DG}}=\dfrac{1}{3}$
となる。
解答ニ:1, ヌ:3
アドバイス
この問題の意地悪なところは、式Hが答えじゃないところだ。
問われているのは
$\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{D\textcolor{red}{G}}}$
であって、式Hの
$\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{D\textcolor{red}{E}}}$
じゃない。
共通テスト本番は時間を気にして焦っているし、計算しているうちに$\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DG}}$と$\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DE}}$が混乱して
$\dfrac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}}=\dfrac{1}{5}$
と勘違いしがちだ。
こういったミスを防ぐためによく使われるのは
問われている文字を使って式をつくる
方法だ。
例えば、
式Eや式Fの時点で、
$\mathrm{DE}$を 問われている$\mathrm{DG}$で表しておく。
つまり、
図Bより、
$\dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}\cdot\dfrac{\mathrm{AD}}{\textcolor{red}{\mathrm{DG}+\mathrm{GE}}}\cdot\dfrac{\mathrm{EF}}{\mathrm{BF}}=1$式E
図Cより、
$\dfrac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}\cdot\dfrac{\mathrm{AD}}{\textcolor{red}{\mathrm{DG}+\mathrm{GE}}}\cdot\dfrac{\mathrm{EF}}{\mathrm{CF}}=1$式F
とする。
などが考えられる。
こうしておけば、式Hは
$\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DG}+\mathrm{GE}}=\dfrac{1}{5}$
となって、ニヌの答えには見えなくなる。
上の解説ではこういった方法はとらなかったけど、これは解法をシンプルにして分かりやすくするため。
ミスを防ぐといった点から見ると不十分だ。
このページにも書いたけど、共通テストやセンター試験の数学は、数学のテストではなく 注意力のテストである。
「ミスしないように気をつける」といった精神論は何の役にも立たない。
ミスを防ぐために、自分にあった合理的な方法を見つけてほしい。