$\log_{3}9=2$

解答ス：2

は解説の必要はないと思うけど、次のセはちょっと面倒。
こういうときは、対数だと大変なので指数で考えよう。

指数と対数の関係を思い出すと、

復習

$0 \lt a$，$0 \lt b$のとき、
$\log_{a}b=c\ \Leftrightarrow\ a^{c}=b$

だった。

復習より、
$\log_{\frac{1}{4}}$セ$=-\displaystyle \frac{3}{2}$
は
$\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}}=$セ
とかける。

これを計算して、
セ$\displaystyle =\left\{\left(\frac{1}{4}\right)^{-1}\right\}^{\frac{3}{2}}$
$\hspace{46px} =4^{\frac{3}{2}}$
$\hspace{46px} =2^{3}$
$\hspace{46px} =8$
である。

解答セ：8

(1)の復習より、問題文中の①式は
$a^{t}=b$①'
と変形できる。

解答ソ：1

両辺の$t$乗根をとると、①'は
$\sqrt[t]{a^{t}}=\sqrt[t]{b}$
とかける。

これはさらに
$(a^{t})^{\frac{1}{t}}=b^{\frac{1}{t}}$
$a=b^{\frac{1}{t}}$①''
と変形できる。

解答タ：1

(1)の復習より、①''は
$\displaystyle \log_{b}a=\frac{1}{t}$
とかけるから、問題文中の②式が確かめられる。

④の不等式に(2)の①②式を代入すると
$t \gt \displaystyle \frac{1}{t}$③
となって、③の不等式ができる。
つまり、③と④の不等式は同じ式だ。

問題文から、③の不等式の解は
$-1 \lt t \lt 0$，$1 \lt t$式Ａ
であることが分かっている。
なので、これがチツの答えなんだけど、選択肢は$a$と$b$の式だ。
なので、式Ａを$a$，$b$の式に変えよう。

式Ａに①式を代入して、
$-1 \lt \log_{a}b \lt 0$，$1 \lt \log_{a}b$式Ａ'
とする。

$\log$と$\log$じゃない辺が入り交じった式ができた。
このままじゃどうにもならないので、全部の辺を対数にしよう。
具体的には、
$\log_{a}a$をかける。 $\log_{a}a=1$なので、かけても辺の値は変わらない。

式Ａ'の対数以外の辺に$\log_{a}a$をかけると
$-1\times\log_{a}a \lt \log_{a}b \lt 0\times\log_{a}a$，
                                $1\times\log_{a}a \lt \log_{a}b$
$\log_{a}a^{-1} \lt \log_{a}b \lt \log_{a}a^{0}$，$\log_{a}a \lt \log_{a}b$
$\displaystyle \log_{a}\frac{1}{a} \lt \log_{a}b \lt \log_{a}1$，$\log_{a}a \lt \log_{a}b$
                                     式Ａ''
と表せる。

$a \gt 1$のとき、式Ａ''より
$\displaystyle \frac{1}{a} \lt b \lt 1$，$a \lt b$
である。

解答チ：3

また、$0 \lt a \lt 1$のとき、式Ａ''より
$\displaystyle \frac{1}{a} \gt b \gt 1$，$a \gt b$
とかける。

これに、$b$の定義域の$b \gt 0$とあわせて
$0 \lt b \lt a$，$1 \lt b \lt \displaystyle \frac{1}{a}$
である。

解答ツ：0

以上を数直線に描くと、図Ａができる。

$a$は定数扱いだ。

チツより、図Ａ中の
緑の実線の範囲に$b$があるとき、
$\log_{a}b \gt \log_{b}a$ 緑の点線の範囲に$b$があるとき、
$\log_{a}b \lt \log_{b}a$ である。

ただし、$b \gt 0$ かつ $b \neq 0$ である。
また、$b=a$や$b=\displaystyle \frac{1}{a}$の場合は考えないことにする。

今度は、
$\log_{p}q$と$\log_{q}p$ $\log_{p}r$と$\log_{r}p$ の大小を比べる。
使うのは、(3)でつくった図Ａだ。

まず、$\log_{p}q$と$\log_{q}p$から。

$\log_{p}q$と$\log_{q}p$に合うように
$a$を$p=\displaystyle \frac{12}{13}$に $b$を$q$に 変えて、図Ａを描きなおして図Ｂをつくる。

いま、$a$にあたる$p$は
$0 \lt p \lt 1$
なので、図Ａの下側の数直線を使う。

図Ｂに$q$を書き込むと、$q=\displaystyle \frac{12}{11}$なので●の位置だ。

詳しく

$\displaystyle \frac{13}{12}=1+\frac{1}{12}$
$\displaystyle \frac{12}{11}=1+\frac{1}{11}$
で、
$\displaystyle \frac{1}{12} \lt \frac{1}{11}$
なので、
$\displaystyle \frac{13}{12} \lt \frac{12}{11}$
となるから、
$\displaystyle \frac{12}{11}$は数直線上で$\displaystyle \frac{13}{12}$よりも右にある。

緑の点線の範囲に$q$があるので、
$\log_{p}q \lt \log_{q}p$ である。

それから、$\log_{p}r$と$\log_{r}p$。

さっきと同じように、$\log_{p}r$と$\log_{r}p$に合うように
$a$を$p=\displaystyle \frac{12}{13}$に $b$を$r$に 変えて、図Ａを描きなおして図Ｃをつくる。

今度も、$a$にあたる$p$は
$0 \lt p \lt 1$
なので、図Ａの下側の数直線を使う。

図Ｃに$r$を書き込むと、$r=\displaystyle \frac{14}{13}$なので●の位置だ。

詳しく

$\displaystyle \frac{14}{13}=1+\frac{1}{13}$
$\displaystyle \frac{13}{12}=1+\frac{1}{12}$
で、
$\displaystyle 0 \lt \frac{1}{13} \lt \frac{1}{12}$
なので、
$\displaystyle 1 \lt \frac{14}{13} \lt \frac{13}{12}$
となるから、
$\displaystyle \frac{14}{13}$は数直線上で$1$と$\displaystyle \frac{13}{12}$の間にある。

緑の実線の範囲に$r$があるので、
$\log_{p}r \gt \log_{r}p$ である。