大学入学共通テスト 2022年(令和4年) 本試 数学Ⅰ 第2問 [2] 解説

(1)

図A
大学入学共通テスト2022年本試 数学Ⅰ第2問[2] 解説図A

$\sin^{2}\angle \mathrm{ACB}+\cos^{2}\angle \mathrm{ACB}=1$
なので、
$\displaystyle \sin^{2}\angle \mathrm{ACB}+\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}=1$
とかける。

これを解いて、
$\displaystyle \sin^{2}\angle \mathrm{ACB}=1-\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}$
$\phantom{ \sin^{2}\angle \mathrm{ACB} } \displaystyle =\frac{3^{2}}{3^{2}}-\frac{3}{3^{2}}$
$\phantom{ \sin^{2}\angle \mathrm{ACB} } \displaystyle =\frac{6}{3^{2}}$
より
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{ACB}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
である。

解答カ:6, キ:3

次は、$\mathrm{AB}$だ。

△$\mathrm{ABC}$に正弦定理を使って
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\sin\angle \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}}=2R$

これにと$R=3$を代入すると
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}=2\cdot 3$
より
$\displaystyle \mathrm{AB}=2\cdot 3\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\phantom{ \mathrm{AB} } =2\sqrt{6}$
となる。

解答ク:2, ケ:6


さらに、$\mathrm{AC}$。

$\mathrm{AC}:\mathrm{BC}=\sqrt{3}:2$
なので、
$\mathrm{AC}=\sqrt{3}x$式A
とすると
$\mathrm{BC}=2x$式B
とかける。

△$\mathrm{ABC}$に余弦定理を使って
$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}-2\cdot \mathrm{AC}\cdot \mathrm{BC}\cdot\cos\angle \mathrm{ACB}$

これに それぞれの値と 式A,式Bを代入して
$(2\displaystyle \sqrt{6})^{2}=(\sqrt{3}x)^{2}+(2x)^{2}-2\cdot\sqrt{3}x\cdot 2x\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}$

これを解いて、
$2^{2}\cdot 6=3x^{2}+4x^{2}-4x^{2}$
$x^{2}=2^{2}\cdot 2$
より
$x=2\sqrt{2}$
となる。

これを式Aに代入すると、$\mathrm{AC}$は
$\mathrm{AC}=\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{2}$
$\phantom{ \mathrm{AC} } =2\sqrt{6}$
である。

解答コ:2, サ:6

(2) (i)

図B
大学入学共通テスト2022年本試 数学Ⅰ第2問[2] 解説図B

△$\mathrm{ABC}$に正弦定理を使うと
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\sin\angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=2R$式C
とかける。

これに$\mathrm{AC}$,$R$の値を代入して、
$\displaystyle \frac{4}{\sin\angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=2\cdot 3$
より
$2\cdot 3\sin\angle \mathrm{ABC}=4$
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{ABC}=\frac{4}{2\cdot 3}$
$\phantom{ \displaystyle \sin\angle \mathrm{ABC} } \displaystyle =\frac{2}{3}$
である。

解答シ:2, ス:3

さらに、△$\mathrm{ABD}$は直角三角形なので、
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{D}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\sin\angle \mathrm{ABC}$式D
である。

これに$\mathrm{AB}$,$\sin\angle \mathrm{ABC}$の値を代入すると、
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{D}}{5}=\frac{2}{3}$
両辺を$5$倍して、
$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{10}{3}$
となる。

解答セ:1, ソ:0, タ:3

アドバイス

図Bには、△$\mathrm{ABC}$が鋭角三角形になる場合を載せておいた。
問題の条件からは、図Cのような鈍角三角形も考えられる。
どちらの三角形を使っても、解き方は変わらない。

図C
大学入学共通テスト2022年本試 数学Ⅰ第2問[2] 解説図C

(2) (ii)

三角形の辺は、外接円の直径より長くなることはない。
なので、

$\mathrm{AB}\leqq 6$式E
$\mathrm{BC}\leqq 6$
$\mathrm{AC}\leqq 6$式F

である。

問題文中の
$2\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=14$

$\mathrm{AC}=14-2\mathrm{AB}$式G
と変形して 式Fに代入すると、
$14-2\mathrm{AB}\leqq 6$
より
$8\leqq 2\mathrm{AB}$
$4\leqq \mathrm{AB}$
であることが分かる。

これと式Eをあわせて、$\mathrm{AB}$の範囲は
$4\leqq \mathrm{AB}\leqq 6$
となる。

解答チ:4, ツ:6


アドバイス

次の問いの$\mathrm{AD}$の式をどうやってつくるか、迷う人は多いんじゃないだろうか。
こういうとき、共通テストやセンター試験では、前の問題がヒントになっていることも多い。

(i)では、$\mathrm{AB}$と$\mathrm{AC}$の値が分かっていて、$\mathrm{AD}$を求めた。
今度は$\mathrm{AD}$の式をつくるんだけど、$\mathrm{AB}$,$\mathrm{AC}$の値は分からないし、求めようもない。
ならば、$\mathrm{AB}$と$\mathrm{AC}$を文字のままにして、(i)と同じことをやってみよう。

(i)の式Cに$R=3$を代入すると
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\sin\angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=2\cdot 3$
より
$2\cdot 3\sin\angle \mathrm{ABC}=\mathrm{AC}$
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{ABC}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{6}$
と表せる。

これを(i)の式Dに代入して
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{D}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{6}$
より、$\mathrm{AD}$の式
$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}\cdot \mathrm{A}\mathrm{C}}{6}$式H
ができる。

$\mathrm{AD}$の式はできたけど、テトの式とはかなり違う。
とりあえず、テトの式にない$\mathrm{AC}$を代入して消そう。

式Hに式Gを代入すると
$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}(14-2\mathrm{A}\mathrm{B})}{6}$
とかける。

これを整理して、$\mathrm{AD}$の式は
$\mathrm{AD} \displaystyle =\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}(7-\mathrm{A}\mathrm{B})}{3}$式I
$\phantom{ \mathrm{AD} } \displaystyle =\frac{-\mathrm{A}\mathrm{B}^{2}+7\mathrm{A}\mathrm{B}}{3}$
$\phantom{ \mathrm{AD} } \displaystyle =\frac{-1}{3}\mathrm{AB}^{2}+\frac{7}{3}\mathrm{AB}$
である。

解答テ:-, ト:1, ナ:3, ニ:7, ヌ:3


最後は$\mathrm{AD}$の最大値だ。
二次式で表された値の最大値なので、2次関数の最大の問題だ。

式Iより、$\mathrm{AD}$は
$\displaystyle \mathrm{AD}=-\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}(\mathrm{A}\mathrm{B}-7)}{3}$
$\phantom{ \mathrm{AD} } \displaystyle =-\frac{1}{3}\mathrm{AB}(\mathrm{AB}-7)$式J
とかける。

式Jがわかりにくい人は、
$\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{A}\mathrm{B}=x\\
\mathrm{A}\mathrm{D}=y
\end{array}\right.$
とおいて、
$y=-\displaystyle \frac{1}{3}x(x-7)$式J'
とした方がイメージしやすいかも。

式J'の2次関数のグラフは
上に凸で $x=0$,$7$で$x$軸と交わる から、図Dのようなグラフだ。

図D
大学入学共通テスト2022年本試 数学Ⅰ第2問[2] 解説図D

放物線の軸は、$x$軸との2つの交点のちょうど真ん中、
$\displaystyle x=\frac{0+7}{2}$
$\phantom{x} \displaystyle =\frac{7}{2}$
である。

また、$x$,つまり$\mathrm{AB}$の定義域は、で求めた
$4\leqq x\leqq 6$
で、図D中の緑の部分。
よって、$y$,つまり$\mathrm{AD}$の最大値は、図D中の赤い点の$y$座標だ。

以上より、$\mathrm{AD}$の最大値は、式Jに
$\mathrm{AB}=4$
を代入して、
$\displaystyle \mathrm{AD}=-\frac{1}{3}\cdot 4(4-7)$
$\phantom{ \mathrm{AD} } \displaystyle =-\frac{1}{3}\cdot 4(-3)$
$\phantom{ \mathrm{AD} } =4$
である。

解答ネ:4


このとき、
$\mathrm{AB}=4$ $\mathrm{AD}=4$ より $\mathrm{AB}=\mathrm{AD}$なので、点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{D}$は一致する。

したがって、
$\mathrm{AB}$⊥$\mathrm{BC}$
つまり
$\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}$
となるから、$\mathrm{AC}$は△$\mathrm{ABC}$の外接円の直径にあたる。

以上より、$\mathrm{AD}=4$のときの図を描くと、図Cのようになる。

図C
大学入学共通テスト2022年本試 数学Ⅰ第2問[2] 解説図C

図Cの△$\mathrm{ABC}$に三平方の定理を使うと
$4^{2}+\mathrm{BC}^{2}=6^{2}$
より
$\mathrm{BC}^{2}=2^{2}(3^{2}-2^{2})$
$\phantom{ \mathrm{BC}^{2} } =2^{2}\cdot 5$
$\mathrm{BC}=2\sqrt{5}$
であることが分かる。

よって、△$\mathrm{ABC}$の面積は、
$\displaystyle \frac{1}{2}\times$底辺$\times$高さ$=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5}\cdot 4$
$\hspace{106px}=4\sqrt{5}$
である。

解答ノ:4, ハ:5