(ii)の方程式
$(k^{2}+1)x^{2}+(16k^{2}-10k-4)x$
          $+64k^{2}-80k+4=0$式Ａ
が重解をもつときの$k$のうち、$k=0$じゃない方が$k_{0}$だ。

なので、式Ａの判別式から
$(16k_{0}^{2}-10k_{0}-4)^{2}$
          $-4(k_{0}^{2}+1)(64k_{0}^{2}-80k_{0}+4)=0$
とかける。

途中式

これを整理すると、
$\cancel{2^{2}} (8k_{0}^{2}-5k_{0}-2)^{2}$
          $-\cancel{4}(k_{0}^{2}+1)(64k_{0}^{2}-80k_{0}+4)=0$
$(\cancel{64k_{0}^{4}-80k_{0}^{3}}-32k_{0}^{2}+25k_{0}^{2}+20k_{0}\cancel{+4})$
          $-(\cancel{64k_{0}^{4}-80k_{0}^{3}}+4k_{0}^{2}$
                  $+64k_{0}^{2}-80k_{0}\cancel{+4})=0$
$-75k_{0}^{2}+100k_{0}=0$
$3k_{0}^{2}-4k_{0}=0$
$k_{0}(3k_{0}-4)=0$
となる。

よって、
$k_{0}=0$，$\displaystyle \frac{4}{3}$
だけど、$k_{0}\neq 0$なので、求める$k_{0}$は
$k_{0}=\displaystyle \frac{4}{3}$
である。

解答コ：4, サ：3

(iii)より
$ k_{0}=\tan 2\theta$ $\displaystyle \tan\theta=\frac{1}{2}$ であることが分かっている。
これを使って$k_{0}$を求める。

ここで、2倍角の公式の復習をすると、

公式

$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$
$\cos 2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$
$\phantom{ \cos 2\theta } =1-2\sin^{2}\theta$
$\phantom{ \cos 2\theta } =2\cos^{2}\theta-1$
$\displaystyle \tan 2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}$式Ｂ

だった。

公式の式Ｂより、
$ k_{0}=\tan 2\theta$
$\phantom{ k_{0}\displaystyle } \displaystyle =\frac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}$
とかける。

これに$\displaystyle \tan\theta=\frac{1}{2}$を代入して、
$k_{0}=\displaystyle \frac{2\cdot\frac{1}{2}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}$
$\phantom{ k_{0}\displaystyle } \displaystyle =\frac{1}{\frac{3}{4}}$
$\phantom{ k_{0}\displaystyle } \displaystyle =\frac{4}{3}$
である。

解答コ：4, サ：3

$k_{0}$を求める方法は他に何通りも考えられるけど、ここでは点と直線の距離の公式を使う方法だけを紹介しておく。

先に点と直線の距離の公式を復習しておこう。

公式

直線$ax+by+c=0$
と
点$(\alpha,\beta)$
の距離$d$は、
$d=\displaystyle \frac{|a\alpha+b\beta+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

だった。

この問題では、図Ｃのように、
点$\mathrm{Q}$と直線$\ell_{0}$の距離が、円$C$の半径 になればよい。

直線$\ell_{0}$の式は、
$y=k_{0}(x+8)$
なので
$k_{0}x-y+8k_{0}=0$
と変形できる。

よって、点と直線の距離の公式から、
$\displaystyle \frac{|2k_{0}-5+8k_{0}|}{\sqrt{k_{0}^{2}+(-1)^{2}}}=5$
と表せる。

途中式

これを整理して、
$\displaystyle \frac{|10k_{0}-5|}{\sqrt{k_{0}^{2}+1}}=5$
両辺を$5$で割って、
$\displaystyle \frac{|2k_{0}-1|}{\sqrt{k_{0}^{2}+1}}=1$

左辺の分母を払って、
$|2k_{0}-1|=\sqrt{k_{0}^{2}+1}$
両辺を2乗して、
$(2k_{0}-1)^{2}=k_{0}^{2}+1$
$4k_{0}^{2}-4k_{0}+1=k_{0}^{2}+1$
$3k_{0}^{2}-4k_{0}=0$
$k_{0}(3k_{0}-4)=0$
である。

よって、
$k_{0}=0$，$\displaystyle \frac{4}{3}$
となるけど、$k_{0}\neq 0$なので、求める$k_{0}$は
$k_{0}=\displaystyle \frac{4}{3}$
である。

解答コ：4, サ：3