大学入学共通テスト 2022年(令和4年) 本試 数学ⅡB 第5問 解説

(1)

図A
大学入学共通テスト2022年本試 数学ⅡB第5問 解説図A

図Aにおいて、
$\left\{\begin{array}{l} \left|\vec{\mathrm{OA}}\right|=\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|=1\\ \vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}=\displaystyle -\frac{2}{3} \end{array}\right.$
なので、
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{OA}}\right|\cdot\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|\cos\angle \mathrm{AOB}=-\frac{2}{3}$
より
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{AOB}=-\frac{2}{3}$
である。

解答ア:-, イ:2, ウ:3

また、点$\mathrm{P}$は$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点なので、
$\vec{\mathrm{OP}}=(1-t)\vec{\mathrm{OA}}+t\vec{\mathrm{OB}}$式A
と表せる。
これを使って$\vec{\mathrm{OQ}}$を表す。

いま、点$\mathrm{Q}$は直線$\mathrm{OP}$上の点なので、
$\vec{\mathrm{OQ}}=k\vec{\mathrm{OP}}$
とかける。

これに式Aを代入して、
$\vec{\mathrm{OQ}}=k\{(1-t)\vec{\mathrm{OA}}+t\vec{\mathrm{OB}}\}$
より
$\vec{\mathrm{OQ}}=k(1-t)\vec{\mathrm{OA}}+kt\vec{\mathrm{OB}}$
$\phantom{ \vec{\mathrm{OQ}} } =(k-kt)\vec{\mathrm{OA}}+kt\vec{\mathrm{OB}}$
である。

解答エ:1, オ:0

次は、$\vec{\mathrm{CQ}}$だ。

$\vec{\mathrm{CQ}}=\vec{\mathrm{OQ}}-\vec{\mathrm{OC}}$
だけど、
$\vec{\mathrm{OC}}=-\vec{\mathrm{OA}}$
なので、
$\vec{\mathrm{CQ}}=\vec{\mathrm{OQ}}+\vec{\mathrm{OA}}$
とかける。

これに①式を代入すると、
$\vec{\mathrm{CQ}}=(k-kt)\vec{\mathrm{OA}}+kt\vec{\mathrm{OB}}+\vec{\mathrm{OA}}$
より
$\vec{\mathrm{CQ}}=(k-kt+1)\vec{\mathrm{OA}}+kt\vec{\mathrm{OB}}$式B
となる。

解答カ:4, キ:0


図B
大学入学共通テスト2022年本試 数学ⅡB第5問 解説図B

今度は、図Bのように$\vec{\mathrm{OA}} \perp \vec{\mathrm{OP}}$のとき。
つまり、
$\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OP}}=0$
のときを考える。

$\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OP}}=0$
に式A($\vec{\mathrm{OP}}$の式)を代入すると、
$\vec{\mathrm{OA}}\cdot\{(1-t)\vec{\mathrm{OA}}+t\vec{\mathrm{OB}}\}=0$
より
$(1-t)\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^{2}+t\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}=0$式C
となる。

$\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|$と$\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}$の値を代入すると、式Cは
$\displaystyle (1-t)\cdot 1^{2}+t\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=0$
と表せる。

これを解いて、このときの$t$は
$1-t-\displaystyle \frac{2}{3}t=0$
$3-3t-2t=0$
$5t=3$
$t=\displaystyle \frac{3}{5}$
である。

解答ク:3, ケ:5

(2)

$\angle \mathrm{OCQ}$が直角なので、
$\vec{\mathrm{OC}} \perp \vec{\mathrm{CQ}}$
だから
$\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{CQ}}=0$
のときを考える。

これに 式B($\vec{\mathrm{CQ}}$の式)と$\vec{\mathrm{OC}}=-\vec{\mathrm{OA}}$を代入すると
$(-\vec{\mathrm{OA}})\cdot\{(k-kt+1)\vec{\mathrm{OA}}+kt\vec{\mathrm{OB}}\}=0$
とかける。

これを変形して、
$\vec{\mathrm{OA}}\cdot\{(k-kt+1)\vec{\mathrm{OA}}+kt\vec{\mathrm{OB}}\}=0$
$(k-kt+1)\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^{2}+kt\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}=0$

これに$\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|$と$\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}$の値を代入すると、
$\displaystyle (k-kt+1)\cdot 1^{2}+kt\left(-\frac{2}{3}\right)=0$
$3(k-kt+1)-2kt=0$
$3k-5kt+3=0$
となる。

問題文を見ると、$k$の値が問われている。
なので、この式を$k$について解くと、
$5kt-3k=3$
$k(5t-3)=3$
$k=\displaystyle \frac{3}{5t-3}$
である。

解答コ:3, サ:5, シ:3


ここで、平面を図Cのように分割する。

図C
大学入学共通テスト2022年本試 数学ⅡB第5問 解説図C

点$\mathrm{Q}$の位置は$t$の値によって変わって、
$0 \lt t \lt \displaystyle \frac{3}{5}$のとき、
点$\mathrm{Q}$は図Dの左図の位置
$\displaystyle \frac{3}{5} \lt t \lt 1$のとき、
点$\mathrm{Q}$は図Dの右図の位置
にある。

図D
大学入学共通テスト2022年本試 数学ⅡB第5問 解説図D

図Cと図Dを見比べると、点$\mathrm{Q}$は
$0 \lt t \lt \displaystyle \frac{3}{5}$のとき、$D_{2}$と$E_{2}$ $\displaystyle \frac{3}{5} \lt t \lt 1$のとき、$D_{1}$と$E_{1}$ に含まれることが分かる。

解答ス:3, セ:0

(3)

$t=\displaystyle \frac{1}{2}$のときを考える。
このとき、
$0 \lt t \lt \displaystyle \frac{3}{5}$
なので、点$\mathrm{Q}$の位置は図Eの場所だ。

図E
大学入学共通テスト2022年本試 数学ⅡB第5問 解説図E

このときの$\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|$を求めるんだけど、使うのは①式だ。
①式には$k$が含まれているので、$t=\displaystyle \frac{1}{2}$のときの$k$の値を求めることからはじめる。

②より
$k=\displaystyle \frac{3}{5\cdot\frac{1}{2}-3}$
途中式 $\phantom{ k } \displaystyle =\frac{3\cdot 2}{5-3\cdot 2}$
$\phantom{ k } \displaystyle =\frac{6}{-1}$
$\phantom{ k } =-6$式D

これを①に代入すると
$\displaystyle \vec{\mathrm{OQ}}=\left\{-6-(-6)\cdot\frac{1}{2}\right\}\vec{\mathrm{OA}}+(-6)\cdot\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OB}}$
$\phantom{ \vec{\mathrm{OQ}} } =-3\vec{\mathrm{OA}}-3\vec{\mathrm{OB}}$
$\phantom{ \vec{\mathrm{OQ}} } =-3(\vec{\mathrm{OA}}+\vec{\mathrm{OB}})$
とかける。

なので、
$\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|^{2}=\{-3(\vec{\mathrm{OA}}+\vec{\mathrm{OB}})\}\cdot\{-3(\vec{\mathrm{OA}}+\vec{\mathrm{OB}})\}$
$\phantom{ \left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|^{2} } =3^{2}(\vec{\mathrm{OA}}+\vec{\mathrm{OB}})\cdot(\vec{\mathrm{OA}}+\vec{\mathrm{OB}})$
$\phantom{ \left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|^{2} } =3^{2}\left(\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^{2}+2\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}+\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^{2}\right)$
$\hspace{200px}$式E
と表せる。

$\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|$と$\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}$の値を代入すると、式Eは
$\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|^{2}=\displaystyle 3^{2}\left\{1^{2}+2\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)+1^{2}\right\}$
途中式 $\phantom{ \left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|^{2} } =\displaystyle 3^{2}\left(1-\frac{4}{3}+1\right)$
$\phantom{ \left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|^{2} } =3(3-4+3)$
$\phantom{ \left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|^{2} } =6$
となるから、
$\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|=\sqrt{6}$
である。

解答ソ:6


さらに、$t=\displaystyle \frac{1}{2}$以外で$\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|=\sqrt{6}$になるときを探す。

$t=\displaystyle \frac{1}{2}$のときの点$\mathrm{Q}$の位置は、図Eの場所、つまり点$\mathrm{C}$の下方だった。
図Dから想像がつくんだけど、点$\mathrm{Q}$が点$\mathrm{C}$の上方にあるとき、つまり図Fの点$\mathrm{R}$の位置にあるときも、
$\left|\vec{\mathrm{OR}}\right|=\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|=\sqrt{6}$
になるはず。

図F
大学入学共通テスト2022年本試 数学ⅡB第5問 解説図F

なので、点$\mathrm{R}$について考えよう。
以下、$t=\displaystyle \frac{1}{2}$のときの点$\mathrm{Q}$を、単に点$\mathrm{Q}$と書く。


点$\mathrm{R}$は、直線$\mathrm{OA}$に関して点$\mathrm{Q}$と対称の位置にあるので、
$\vec{\mathrm{CR}}=-\vec{\mathrm{CQ}}$
である。

解答タ:-

これに式B($\vec{\mathrm{CQ}}$の式)を代入して、
$\vec{\mathrm{CR}}=-(k-kt+1)\vec{\mathrm{OA}}-kt\vec{\mathrm{OB}}$
だけど、

$t=\displaystyle \frac{1}{2}$
式Dより、$k=-6$

なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{CR}}=-\left\{-6-(-6)\cdot\frac{1}{2}+1\right\}\vec{\mathrm{OA}}-(-6)\cdot\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OB}}$
$\phantom{ \vec{\mathrm{CR}} } =2\vec{\mathrm{OA}}+3\vec{\mathrm{OB}}$式F
となる。

解答チ:2, ツ:3


最後に、このときの$t$、つまり 点$\mathrm{P}$が図Gの位置にあるときの$t$の値を求める。

図G
大学入学共通テスト2022年本試 数学ⅡB第5問 解説図G

$\vec{\mathrm{OP}}$を$\vec{\mathrm{OA}}$,$\vec{\mathrm{OB}}$を使って2通りに表す、定期テストなんかでよく見る問題だ。

(1)の式Aで求めたように、
$\vec{\mathrm{OP}}=(1-t)\vec{\mathrm{OA}}+t\vec{\mathrm{OB}}$式A
だった。

また、3点$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$は一直線上にあるので、実数$\ell$を使って
$\vec{\mathrm{OP}}=\ell\vec{\mathrm{OR}}$
$\phantom{ \vec{\mathrm{OP}} } =\ell(\vec{\mathrm{OC}}+\vec{\mathrm{CR}})$
とかける。

これに式F($\vec{\mathrm{CR}}$の式)と$\vec{\mathrm{OC}}=-\vec{\mathrm{OA}}$を代入すると
$\vec{\mathrm{OP}}=\ell\{(-\vec{\mathrm{OA}})+(2\vec{\mathrm{OA}}+3\vec{\mathrm{OB}})\}$
$\phantom{ \vec{\mathrm{OP}} } =\ell(\vec{\mathrm{OA}}+3\vec{\mathrm{OB}})$
$\phantom{ \vec{\mathrm{OP}} } =\ell\vec{\mathrm{OA}}+3\ell\vec{\mathrm{OB}}$
と表せる。

これが式Aと同じ式なので、
$\left\{\begin{array}{l}
1-t=\ell\\
t=3\ell
\end{array}\right.$式G
であることが分かる。

これを連立方程式として解くんだけど、$t$の値だけ分かればいいので、$\ell$を消そう。

式Gの上の式を下の式に代入すると
$t=3(1-t)$
より
$4t=3$
となるので、このときの$t$は
$t=\displaystyle \frac{3}{4}$
である。

解答テ:3, ト:4