$Q(x)=0$に解の公式を使って、このときの$x$は
$x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}$
とかける。

これを計算して、
$$ \begin{align} x&=\dfrac{1\pm\sqrt{-7}}{2}\\ &=\dfrac{1\pm\sqrt{7}i}{2} \class{tex_formula}{式Ａ} \end{align} $$ である。

解答ア：１, イ：７, ウ：２

$P(x)$を$Q(x)$で割ると

となる。

$P(x)$は$Q(x)$で割り切れるから、余りは$0$だ。
なので、上の筆算の赤い部分は
$n-2(m+3)=0$
である。

よって、
$$ \begin{align} n&=2(m+3)\\ &=2m+6 \end{align} $$ と表せる。

解答エ：２, オ：６

また、$R(x)$は筆算の緑の部分なので
$$ \begin{align} R(x)&=x^{2}+mx+(m+3)\\ &=x^{2}+mx+m+3 \end{align} $$ である。

解答カ：３

方程式
$R(x)=0$
つまり
$x^{2}+mx+(m+3)=0$式Ｂ
が異なる２つの虚数解をもつときを考える。

$R(x)$の判別式を$D$とすると、
$$ \begin{align} D&=m^{2}-4\cdot 1\cdot(m+3)\\ &=m^{2}-4m-12\\ &=(m+2)(m-6) \class{tex_formula}{式Ｃ} \end{align} $$ である。

$R(x)=0$は２つの異なる虚数解をもつので、
$D \lt 0$
つまり
$(m+2)(m-6) \lt 0$
だから、このときの$m$の範囲は
$-2 \lt m \lt 6$式Ｄ
となる。

解答キ：－, ク：２, ケ：６

これを
$\alpha\beta(\alpha+\beta)=-10$
に代入すると
$(m+3)(-m)=-10$
$m(m+3)-10=0$
となって、$m$についての方程式
$m^{2}+3m-10=0$
ができる。

これを解くと
$(m+5)(m-2)=0$
より
$m=-5$，$2$
となる。

このうち、$m=-5$は式Ｄの範囲に当てはまらないので不適。
求める$m$は
$m=2$
である。

解答シ：２

これを式Ｂに代入すると、このときの方程式$R(x)=0$は
$x^{2}+2x+(2+3)=0$
より
$x^{2}+2x+5=0$
であることが分かる。

この方程式の解は、解の公式より
$$ \begin{align} x&=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot 1\cdot 5}}{2\cdot 1}\\ &=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^{2}(1-5)}}{2}\\ &=-1\pm 2i \end{align} $$ となる。

解答ス：－, セ：１, ソ：２

これまでの作業をまとめておこう。

この３つを材料にして(4)を解くんだけど、その前にひとつ確認しておこう。

復習より、
式Ａの２つの値の一方が$R(x)=0$の解であれば、もう一方も$R(x)=0$の解である。 言いかえると、
$Q(x)=0$と$R(x)=0$が共通解をもつとき、$R(x)=0$の解も式Ａである。

したがって、このとき
$R(x)=Q(x)$
となるから、
$x^{2}+mx+(m+3)=x^{2}-x+2$
とかける。

よって、このとき、
$m=-1$式Ｅ
である。

ここまで来れば勝ったも同然だ。
残りのタ～ニを片付けてしまおう。